线形(linear)和非线性(nonlinear)分析是有限元分析中两大“双塔”，线形问题总是我们所擅长或者乐意研究的，因为其够简单，分析成本低。但本质上说，这个世界主要还是非线性居多，线形总隐含着小变形、小应变、小的旋转、小的温度变化等等前提条件，但即使是“小”，也不会是数学上严格意义的真正线性，不会是一条完美的直线。不过你也不必惊慌，虽然不是完美的线形，但我们并不需要那么完美同样可以在“小”的前提下得到较为精确的结果，所以很多工程师都乐意把问题简化为线形分析。 一旦我们进入非线性的世界，那么我们将踏上“未知”的旅程。下图展现了一个典型的非线性的历程。横坐标为位移，纵坐标为载荷，在非线性计算中，载荷的施加也是离散叠加的，如图中所示我们先施加10%的载荷(实际情况中没这么大，往往很小如0.1%)，第一个线形逼近(有限元分析是数值算法，是多项式的线形逼近过程)没有收敛(没达到指定的收敛阈值)，程序要继续寻找收敛点，经过几次逼近后才能找到收敛点，这才完成第一次的载荷收敛，下一步再增加10%的载荷，这个逼近过程也是类似的，直到完成100%的载荷加载。 这个过程是非常耗费成本的，因为每一步都需要对刚度矩阵(stiffness matrix)进行迭代，而一般线形分析只需要一个刚度矩阵即可，也就是说，如这个例子迭代十次的工作量(理想化的时间，成本)相当于线形分析的10倍，实际情况往往更多。 有些时候，我们不得不接受非线性，这一节我们主要讨论常见的几种非线性： 几何非线性(geometic nonlinaerity) 材料非线性(material nonlinearity) 接触非线性(contact nonlinearity) 1.几何非线性(geometic nonlinaerity) 几何非线性有时候又被叫做大变形分析(large displacement，但有些人并不同意这样叫，因为多大才算大变形呢并没有一个定量的约定)，因为几何非线性往往涉及到大的位移，大的应变等等。 下面我们通过一个理论实例来说明几何非线性。如下图所示，一个杆件一端安装在铰链上，铰链上安装有扭簧(torsional spring)抵抗变形，杆件另一端施加有向上的一定大小的力F。我们来看看杆件旋转角度Θ和力F的关系。 此时F和Θ呈线形关系。 如果我们一开始就把问题简化为线形，那么如下图所示，线形结果和正确的非线性就有非常大的偏差，从图中可以看出，当旋转角度大于30°时，两种分析结果就分道扬镳了。 几何非线性在工程中非常常见。比如屈曲过程(buckling)就伴随着几何非线性，如下图所示。 又比如一根梁两端约束的不同，受力情况也不同。如下图所示，一种情况是简支梁一端约束，另一端可以轴向活动;另一种情况是两段都受到约束。当施加垂直方向的载荷时，如果运用线形分析，那么结果没太大差比;当考虑非线性(几何非线性)时，结果将非常不同。 当考虑几何非线性时，简支梁的位移情况： 2.材料非线性(material nonlinearity) 材料非线性应该是我们最熟悉的，在材料力学中主要讲的就是材料的非线性。当材料通过线形区域的屈服点(yield point)时，非线性的塑性(plastic)变形开始接管材料的变形形式，此时应力-应变将不再符合线形关系， 非线性分析中，步长大小的设定对非线性分析有很大的影响，过大的步长、高度非线性的事件或者接触条件的巨大改变，以及涉及到碰撞、断裂和高度屈曲的情况，求解器就需要长时间寻找到收敛的平衡点，有时候甚至找不到。但为了简化，对材料非线性来说，有些时候，在进入塑形变形后，我们同样可以进行线形简化。如下图所示，塑形阶段应力-应变的变化还是近似符合线形的，我们仍然可以通过线形拟合来进行替代，或者我们可以通过输入来自excel的数据来进行更精确的拟合。 同样我们可以用上面几何非线性的例子来说明材料非线性，在上面的计算中，我们是假定扭簧在旋转过程中材料属性是不会有变化的，但实际上随着纽簧的旋转会不断硬化，材料属性多少会有些变化(但很小)。为了说明材料非线性，我们假定扭簧系数Kt和角度成函数关系： kt=k0+k1Θ 此时有扭簧的扭矩为： 外部弯矩不变，此时可得： 可以看出，此时公式既包含材料的非线性，也包含几何非线性。 同样的，如果旋转角度很小，此时有： 此时公式只包含材料非线性 下图综合绘制了几何+材料非线性、材料非线性、几何非线性和线性4种不同条件下力和角度的关系。 3.接触非线性(contact nonlinearity) 接触非线性顾名思义就是当两个对象发生接触时的现象，接触非线性和几何非线性类似，因为也是关于位移(变形)的函数，所以有些介绍中也把其归为几何非线性之中。 接触非线性的计算公式比较多，不同的接触类型适用于不同的公式，但在有限元分析时，一般都会引入“惩罚因子”(Penality Factor)这个物理量，以后我们会详细讲到。 下面列举了一些常见的非线性接触的例子： 卡扣的安装过程 球状体装入夹持件的过程 轮胎和地面接触的过程 球状体和平面接触 尖锐物与面接触的过程 非线性分析(nonlinear analysis)是有限元分析中非常重要的一个大类，我们以后会通过实例重点关注和讲解。 |
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