足球中的科学：弧线球背后的物理原理

　　贝克汉姆和马拉多纳用球鞋内侧踢出的弧线，以及埃德尔、内林霍，罗伯托·卡洛斯用球鞋外侧踢出的弧线，都是马格努斯效应的结果。该效应以其发现者科学家马格努斯命名，在 19 世纪 50 年代，马格努斯首次在实验室中观察到了这种现象。马格努斯效应解释了同时旋转和前进的球所受到的侧向力。这里，我们用它来分析世界杯比赛用球。

　　当体育遇到工程

　　像世界上的很多孩子一样，我的梦想是成为一名英式足球职业运动员，在美国，加拿大和澳大利亚之外，它被称为足球。不过，作为一个小书呆子，我还有另外两个爱好：汽车和科学。

　　20 世纪 80 年代早期，我曾沉迷于汽车的空气动力学。尤其是奥迪和福特中颇具竞争性和革命性的空气动力学设计中的阻力系数。每次拼命用外脚背踢球时，我都渴望能理解、并能踢出那种弧线球。在以后的生活中，工程学成了我将这些兴趣联系起来的粘合剂。在世界杯筹备期间，我将和您分享一些我对比赛用球所做的 CFD 分析。

　　旋转和无旋转

　　足球的旋转对它周围的气流有稳定作用，因此也会稳定其轨迹。不过，让我们先从无旋转或只有很少旋转的情况开始。

　　如果没有旋转，球的后面会出现卡门涡街。随着脱离后方的漩涡，球所受的力会发生波动。球后所形成的尾流不仅会增加阻力，还会促成球的突然转向，所有踢过沙滩球，或者曾站在棒球手所抛出的蝴蝶球飞行轨迹上的人们都应该看到过这种球。这种半混沌模式可通过 CFD 模块的瞬态仿真得到部分解释。

　　以下图片和动画显示了正逆时针旋转的球后方的卡门漩涡，此时球赤道处的旋转速度与向前运动的速度相同，也就是说，在一个相对较低的自旋值。动画为圆柱体的相应二维问题，定性显示了相同的效应。

　　旋转和马格努斯效应

　　随着旋转速度的增加，球上的驻点会一起移动，最终移出球面。此时，由于球旋转所带来的速度被球的前向移动完美抵消[1]。如果不是由于球会因摩擦而损失部分动量这一点，该问题就可以有一个稳定解，这与之前所讨论的较低自旋值形成了对比。在这个阶段，球的飞行轨迹稳定，也更易预测 — 至少对于正射门的球员或守门员来说。

　　下图显示了边旋转边向前运动的球以及旋转圆柱体周围的速度和压力场。赤道上的速度在球旋转并让空气滑过其表面的那一侧更高。在球的另一侧，球的旋转和流经球的空气相互抵消。

　　由于球两侧速度和剪切的差异，两侧之间会形成一个压力差。这导致了将球吸向空气流速较高一侧的力，即作用在球上的马格努斯力。随旋转增加的升力系数也反应了这一点。

　　涡流和世界杯比赛用球设计

　　虽然我上面所分享的仿真有助于解释马格努斯效应，但相对理想层流条件下的仿真，足球的飞行轨迹还有更多因素要考虑。足球是世界上最受欢迎的运动，足球及其设计作为其中的关注焦点，一直都是许多研究的主题。2010 年南非世界杯专用球 Adidas® Jabulani 公布之后，它的革命性设计使这项研究变得更加热烈。

　　边界层分隔造成了较高的层流阻力系数，这形成了一个较低的尾流压力，并减慢了球在该流型中的运动。对于更高的飞行速度，边界层会在分隔点前方形成湍流，并在球后侧更下游的地方在逆流出现前保持附着。这会带来较窄的尾流，以及相应较低的阻力系数。这种现象通常被称作阻力危机，如下图所示。

　　传统的足球(如上图所示)由32块皮面组成：20 个正六边形，以及 12 个正五边形。另一方面，Jabulani 则是由八块皮面组成，如下方比赛用球的有限元图像所示：

　　减少的接缝线数量，如黑线所示，由对球面进行粗糙处理的凹槽来补偿。然而，Jabulani 的空气动力学属性与传统足球有很大不同。

　　Jabulani 上的皮面和接缝线变少和变浅了，这增加了带有较高阻力系数的层流区域，从而降低了较高速度下的阻力系数。和传统足球相比，相对较宽的层流区使它像排球一样具有较宽的速度范围，这点被许多守门员所诟病。足球在风中的飞行模式也会影响到这类“蝴蝶球”式射门中的突然转向[2]。

　　新的 Adidas Brazuca® 是 2014 年巴西世界杯的官方用球，它仅由六块表皮缝制而成，但缝线的总长度却与传统足球相仿。此外，接缝处的深度大于 Jabulani。

　　Brazuca® 球中的阻力系数作为雷诺数的函数，更贴近传统足球，正如你在下图中所看到的那样。因此，由于接缝所造成的湍流，球可以在更宽的速度范围内稳定飞行。

　　享受无旋转、旋转、湍流，以及马格努斯效应所带来的效果

　　在英式足球中，像罗纳尔多这样的球员可以大脚踢出始终无旋转的球，使足球从远离球门的地方开始走出一条直线。这是因为湍流，而当流动开始变为层流后，靠近球门处就会有突然转向的混乱轨迹。

　　与之相反的是，由马格努斯效应带来的稳定旋转弧线球，使贝克汉姆和马拉多纳这样的球员可以多次在 30 米处距球半米的半径范围内起脚射门。

　　埃德尔、内林霍、罗伯托·卡洛斯这些球员结合了大力踢球和旋转，再加上层流与湍流之间的转换，使球有了一个可控而奇特的轨迹，几乎就像制导导弹一样。

　　受到来自外脚背的撞击之后，球被加速到最高速度，球周围的湍流和较小的阻力系数给了它一个相对较直的轨迹。当球速开始变慢，相对旋转加强，马格努斯效应更加明显。换言之，球先走出一条直线，然后在接近球门处突然变为曲线。

　　在 1997 年巴西和法国的比赛中，罗伯托·卡洛斯踢出了那个著名的任意球，其中就结合了湍流和马格努斯效应。法国门将巴特斯几乎没有动，直到为时已晚，站在球门几米距离处的球童也低下了头。门将和球童当时都认为球会落在远离门柱的地方。

　　在这个视频剪辑中，您还可以看到一些更加令人难以置信的马格努斯效应进球，梅西、罗纳尔多、伊布拉希莫维奇、罗纳尔迪尼奥、贝克汉姆、埃德尔、克鲁伊夫，以及许多其他球员都通过该效应成功欺骗了门将。该视频剪辑播放一分钟后，您还可以看到内林霍在 1978 年与对意大利比赛中的进球，正是他让我迷上了用外脚背踢球。它是如此地令人着迷，我会每周花几个小时来练习这种射门…

　　汽车、科学，以及世界杯比赛用球

　　20 世纪 80 年代早期的汽车广告总会突出汽车的阻力系数。我过去一直在想为什么这项数据从公布的汽车规格说明书中消失了。现在，我想的则是球的阻力和升力系数曲线，还会结合马格努斯效应一起思考。观看今年的世界杯期间，当看到各种不可思议的射门和进球时，您不妨想下这些方面。

　　参考文献

　　G. K. Batchelor, “An Introduction to Fluid Dynamics”, Cambridge University Press, ISBN 0 521 09817 3, see plate 12 at page 364 and forward and pages 424-427.

　　J. E. Goff, “A Review of Recent Research into Aerodynamic of Sport Projectiles”, Sports Eng (2013), 16:p137-154.

　　下载模型： 马格努斯效应

　　Adidas 和 Brazuca 是 Adidas AG 的注册商标。COMSOL 及其子公司和产品并不从属于 Adidas AG，受其认可，接受其赞助，或获得其支持。