【总结帖】分岔图绘制不同方法的总结、比较

2015-10-12 04:40| 发布者: aspen| 查看: 1344| 评论: 89|原作者: octopussheng|来自: 声振论坛

摘要: 经过近期的研究发现，目前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的几种方法： 1）最大值法即对系统微分方程（组）进行求解，对求解的结果用getmax函数进行取点，并绘图。 2）Poincare截面法对系统参数的每一 ...

经过近期的研究发现，目前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的几种方法：
1）最大值法
   即对系统微分方程（组）进行求解，对求解的结果用getmax函数进行取点，并绘图。
2）Poincare截面法
对系统参数的每一次取值，绘制其Poincare截面，进而得到其分岔图。
这种方法需要注意的是，自治系统的Poincare截面是选取一超平面，平面上点的分布即构成一Poincare截面，非自治系统的Poincare截面则是根据系统激励的频率进行取点并绘图。
本帖将以Lorenz系统为例，对这两种方法进行比较
首先对第二种方法进行阐述。
编程如下（matlab）
Lorenz系统：
function dy = Lorenz(t,y)
% Lorenz系统
% 系统微分方程：
%       dx/dt = -a(x-y)
%       dy/dt = x(r-z)-y
%       dz/dt = xy-bz
% a=y(4)
% r=y(5)
% b=y(6)
dy=zeros(6,1);
dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2));
dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2);
dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3);
dy(4)=0;
dy(5)=0;
dy(6)=0;
随r的分岔图求解程序：——按照x=y平面取截面
function Lorenz_bifur_r
Z=[];
for r=linspace(1,500,1000);
% 舍弃前面迭带的结果，用后面的结果画图
[T,Y]=ode45('Lorenz',[0,1],[1;1;1;16;r;4]);
[T,Y]=ode45('Lorenz',[0,50],Y(length(Y),:));
Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1);
% 对计算结果进行判断，如果点满足x=y，则取点
for k=2:length(Y)
      f=k-1;
      if Y(k,1)<0
         if Y(f,1)>0
            y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1));
            Z=[Z r+abs(y)*i];
         end
      else
         if Y(f,1)<0
            y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1));
            Z=[Z r+abs(y)*i];
         end
      end
end
end
plot(Z,'.','markersize',1)
title('Lorenz映射分岔图')
xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y')
结果如图1所示。

[/url]
getmax法——取最大值法
function [Xmax] = getmax(y)
a=length(y);
j=1;
for i=(a-1)/2:a
b=(y(i,1)-y(i-2,1))/2;
c=(y(i,1)+y(i-2,1))/2-y(i-1,1);
if y(i-2,1)<=y(i-1,1)&y(i-1,1)>=y(i,1)&c==0
      Xmax(j)=y(i-1,1);
      j=j+1;
elseif y(i-2,1)<=y(i-1,1)&y(i-1,1)>=y(i,1)
      Xmax(j)=y(i-1,1)-b^2/(4*c);
      j=j+1;
end
end
function Lorenz_bifur_r_getmax
% 最大值法求解分岔图
clear all
t0=[0 100];%积分时间
%bifurcation
for r=linspace(1,500,1000);  %r的变化精度
[t,y]=ode45('Lorenz',t0,[1;1;1;16;r;4]);
[Xmax]=getmax(y(:,1));
plot(r,Xmax,'b','markersize',1)
hold on
clear Xmax
end
计算结果如图2所示！

[/url]
最后上传一下参考计算机仿真第22卷第12期上一篇文章“李雅普诺夫指数的研究与仿真”中Lorenz系统的分岔图计算结果，大家比较一下即可看出孰优孰劣了！

[/url]
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