直立行走的牛顿力学

2017-11-13 11:31| 发布者: weixin| 查看: 995| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 明白了走路时地面摩擦力是静摩擦的道理之后，我们考虑的问题是：静摩擦系数与人迈动的最大步伐是什么关系?

　　人类跟猩猩的主要区别是能够直立行走，在漫长的进化过程中，人类用于步行的神经肌肉系统已经完善，那么走路的物理原理是什么呢?

　　首先，走路需要摩擦力。这个大家都应该知道。从静止开始走动，动量变化，需要力。力从何来?摩擦力。什么摩擦?静摩擦。为什么是静摩擦，因为鞋子没有滑动。既然是静摩擦，那么地面对人没有做功，摩擦力并不造成机械能损耗。

　　明白了走路时地面摩擦力是静摩擦的道理之后，我们考虑的问题是：静摩擦系数与人迈动的最大步伐是什么关系?

　　为此，我们算出走路时脚受到的最大摩擦力，从这个计算我们应该发现这个最大摩擦力与跨的步伐大小有关系。这个其实也很好理解，试试就知道了。假如双脚并拢站着不动，也就是步伐为零，摩擦力也为零。假如你向前迈出一步，你会感到地面的力量在hold你; 但如果跨出步子加大到一定程度，你会发现有点hold不住了，鞋子开始打滑了——这就是静摩擦力不够了。如果你试图在光滑的冰面这样跨一大步出去，很可能会来一个前后劈叉。如果完全没有摩擦力，根本动不了，无法走路——也就是静摩擦系数为零，最大步长也为零。这也可以从动量守恒看出，因为没有水平外力，物体质心水平位置不可能变化。

　　直觉与对称性告诉我们，人双脚着地时静摩擦最大，如下图：

　　左边的这只脚踩在地上，它受到地面的作用力是什么方向呢?肯定有一个向上的力，来支撑人的重量;另外一个是摩擦力。

　　    · 问题1：这是什么摩擦力?
　　    · 答：A受到的是静摩擦力---我们假定脚在地面没有打滑。

　　    · 问题2：方向朝哪边?
　　    · 答：A受到的摩擦力方向是向右。

　　为什么?让我们看AB这条腿，以A为轴心，可以看出B点受到向下的力形成一个顺时针的力矩，AB本身的重量也形成一个顺时针的力矩，而要抵消这个力矩，B点关节必须给这条腿一个向左的水平力，而要抵消这个向左的力，A点必须有一个向右的摩擦力。你也可以以B为轴心看这个问题可能更清楚，A点受到地面向上的支撑力为人体重的一半，这个支撑力产生一个顺时针的力矩，要抵消这个力矩，A点必须有向右的摩擦力。

　　如果没有摩擦力，这人如果想保持这个姿势，就会来一个劈叉。很痛苦的。怎么回事?如果静摩擦力不够，脚底就开始在地面滑动，而滑动起来，腿分得更开了，而躯干下压对AB造成的力矩越大，这个两腿分开的动作越加迅速。

　　图中的人要向左行走，必须有足够的摩擦力推动右边那条腿由静止向左运动(通过脚跟抬起，使得右边的有效长度增大，静摩擦相应增大)，实现与左边那条腿交叉，两脚也实现前后交换，如果静摩擦力不够，那么右边那只脚就会出现向后打滑，使两脚距离反而增大。不用计算也可以看出，脚步卖得越大，需要的摩擦力越大。换言之，摩擦力越小，能走的步子越小。假设上图中腿AB与垂直线的夹角为θ，人体重为W，腿长为L，那么以B为转轴的力矩平衡方程为 (忽略腿重)

　　静摩擦力最大值为1/2Wμ，其中μ为静摩擦系数。因此最大步伐为

　　我们看到这个式子就知道得到了一个合理的结果，因为它通过了sanity check，也就是精神检查

　　    · 摩擦系数为0，步长为0：人由静止向前走动需要水平方向的作用力，因此没有摩擦力是无法行走的。这一点我们的公式通过了;

　　    · 摩擦系数再大，你的步长也不可能超过两倍腿长，这一点我们的公式也通过了;

　　    · 没有腿(腿长为0)不能走路，这一点我们也通过了。

　　上式可以改写成：

　　我们称S为相对步长，也就是步伐与腿长的比。将这公式倒过来，将这公式倒过来，我们得出：

　　之所以做这个颠倒，是为了与实验结果比较。我们的理论图如下：

　　物理这东西是实打实的，可以实验说明。在网上一搜，找到这篇题为“Step length and required friction in walking”(步行步长与摩擦)的2008年的论文(http://www.researchgate.net/publ ... 7d515a20a67c903.pdf )。这是美国与加拿大两所大学四名研究人员的实验结果，标题顾名思义，就是研究摩擦系数与步长的关系。他们得到的实验结果在论文中为图二，我拷贝于下

　　实验跟理论吻合相当不错。因为仅仅用到初中物理，这个吻合度可以满足了。

　　再看看步行时摩擦力的动态测量。下图显示的是一个步行周期内，地面对一只脚的作用力。虚线是地面摩擦力。从这个图看出，双脚着地时摩擦力最大(为什么?)

　　来源：岳东晓科学网博客
　　作者：岳东晓博士

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