频率分辨率的两种解释，这回终于彻底明白了！

2018-2-2 16:24| 发布者: weixin| 查看: 696| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 关于频率分辨率的两种解释

　　解释一

　　频率分辨率可以理解为在使用DFT时，在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f0=fs/N=1/(N*Ts)=1/T，其中N为采样点数，fs为采样频率，Ts为采样间隔。所以N*Ts就是采样前模拟信号的时间长度T，所以信号长度越长，频率分辨率越好。

　　是不是采样点数越多，频率分辨力提高了呢?其实不是的，因为一段数据拿来就确定了时间T，注意：f0=1/T，而T=N*Ts，增加N必然减小Ts ，因此，增加N时f0是不变的。只有增加点数的同时导致增加了数据长度T才能使分辨率越好。

　　还有容易搞混的一点，我们在做DFT时，常常在有效数据后面补零达到对频谱做某种改善的目的，我们常常认为这是增加了N，从而使频率分辨率变好了，其实不是这样的，补零并没有增加有效数据的长度，仍然为T。

　　但是补零其实有其好处：
　　 · 使数据N为2的整次幂，便于使用FFT;
　　 · 补零后，其实是对DFT结果做了插值，克服“栅栏”效应，使谱外观平滑化。我把“栅栏”效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，肯定有被栅栏挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，改变了栅栏密度，风景就看的越来越清楚了。
　　 · 由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。

　　那么选择DFT时N参数要注意：
　　 · 由采样定理：fs>=2fh
　　 · 频率分辨率：f0=fs/N
　　所以一般情况给定了fh和f0时也就限制了N范围：N>=fs/f0。

　　解释二

　　频率分辨率也可以理解为某一个算法(比如功率谱估计方法)将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。

　　在信号系统中我们知道，宽度为N的矩形脉冲，它的频域图形为sinc函数，两个一阶零点之间的宽度为4π/N。由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个矩形窗函数，那么该信号的频域就等同卷积了一个sinc函数，也就是频域受到sinc函数的调制了，根据卷积的性质，因此两个信号圆周频率之差ω0必须大于4π/N。

　　从这里可以知道，如果增加数据点数N，即增加数据长度，也可以使频率分辨率变好，这一点与第一种解释是一样的。同时，考虑到窗函数截短数据的影响存在，当然窗函数的特性也要考虑，在频率做卷积，如果窗函数的频谱是个冲击函数最好了，那不就是相当于没截断吗?

　　可是那不可能的，我们考虑窗函数主要是以下几点：
　　 · 主瓣宽度B最小(相当于矩形窗时的4π/N，频域两个过零点间的宽度);
　　 · 最大边瓣峰值A最小(这样旁瓣泄露小，一些高频分量损失少了);
　　 · 边瓣谱峰渐近衰减速度D最大(同样是减少旁瓣泄露)。

　　在此，总结几种很常用的窗函数的优缺点：
　　 · 矩形窗：B=4π/N ，A=-13dB，D=-6dB/oct
　　 · 三角窗：B=8π/N ，A=-7dB，D=-12dB/oct
　　 · 汉宁窗：B=8π/N ，A=-32dB，D=-18dB/oct
　　 · 海明窗：B=8π/N ，A=-43dB，D=-6dB/oct
　　 · 布莱克曼窗：B=12π/N，A=-58dB，D=-18dB/oct

　　可以看出，矩形窗有最窄的主瓣，但是旁瓣泄露严重。汉宁窗和海明窗虽主瓣较宽，但是旁瓣泄露少，是常选用的窗函数。

　　本文来源于新浪考研数学笔记的博客，博主系武汉大学电子信息学院博士。

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