浅谈有限元计算中的边界条件：什么是边界条件

2018-3-9 16:07| 发布者: weixin| 查看: 871| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 定解条件的形式很多，只讨论最常见的两种——初始条件和边界条件。

　　对有限元计算，无论是ansys、abaqus、msc还是comsol等，归结为一句话就是解微分方程。而解方程要有定解，就一定要引入条件，这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多，只讨论最常见的两种——初始条件和边界条件。

　　在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。

　　初值和边值问题：
　　对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0)=y0， y′(x0)=y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题;

　　而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a≤x≤b的端点满足一定的条件，如y(a)=A，y(b)=B，则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。

　　三类边界条件：
　　边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0，A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0，B≠0则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。

　　总体来说：
　　第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值;
　　第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数;
　　第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。

　　对应于comsol，只有两种边界条件：
　　Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点，待求变量的值被指定。
　　Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。

　　再补充点初始条件：
　　初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中，好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。

　　总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件!

　　本文来源于新浪厚积薄发的博客(2009年)

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