水波与声波之异同 Water waves and sound waves: similarities and differences 南京大学声学所 王新龙 水表面波(本文简称水波)与声光波一样，是自然界普遍存在的波动形式。微风吹拂一池春水，泛起涟漪阵阵;投石平静湖面，激起同心圆状波纹一串;海浪汹涌澎拜，昼夜不息;地震引发的海啸奔腾而来，其力量之大几可摧毁沿岸一切。凡此种种，皆水波之表现。水波直观可视，因此最早为人所知。虽然水波与声波同为机械波，皆因媒质(水)的扰动而起。但是，产生水波的内在机制是水表面对重力场的不稳定性(在小尺度范围，表面张力的弹性也可激起表面波——涟漪)，而水中声波则完全是水的压缩膨胀使然。
声波与水波共同遵循流体运动的欧拉方程和连续性方程：
其中P是压强，v是流体质点速度矢量，ρ是水密度，g是重力加速度矢量(量值g，方向垂直向下)。无论声波还是水波，在小振幅的线性假设下，皆可略去欧拉方程(1)的对流速度项：v·grad(v)。所以，线性水波与线性声波一样无旋，即Rot(v)=0，所以存在速度势Φ，使得v=grad(Φ)。根据连续性方程(2)和理想流体的绝热状态方程P=P(ρ))，可以导出如下线性化的弹性关系：
其中β0是水的压缩系数(其导数是体弹性系数)。速度的散度div(v)描述了流体的压缩大小，而β0则衡量流体的可压缩性。空气的压缩系数β0=6.984×10^6(米×秒^2/公斤)，水虽然具有一定的可压缩性，但压缩系数极小，β0=4.556×10^-10(米×秒^2/公斤)，远小于空气的。虽然如此，水下声波频率高，压力起伏(声压)可观，乃致公式(3)的右端不可忽略，所以速度散度较大，不可忽略。对上式求时间导数，并应用线性化的欧拉方程，立刻得到压强满足的方程：
若静态密度ρ是均匀的，则在线性近似下方程中的ρ可以用静态密度β0代替而提到散度微分算符之外，如此则得到标准的波动方程。故而，水中可以存在声波，谓之水声。例如，球面波：
其中r是径向坐标，ω和k分别为声波频率和波数，A是声压振幅。
与声波截然不同，水波之存在无关乎水的压缩性。其实，水波的波长远比声波的长，周期远比水波的小，故而压力起伏不大，乃致公式(3)右端近乎零，即div(v)≈0。再根据连续性方程(2)可知，ρ几乎不变。所以，在处理水波问题时，完全可以把密度视为常数处理，或者div(v)=0。以速度势Φ表示，则
即，在水波问题中，速度势Φ满足拉普拉斯方程(非波动方程)。拉普拉斯方程不存在波动解，水波只可能发生在水表面处。设z=0为静止水面，(x，y)平面与水平面重合。设ζ为水面的垂直波动位移。在水-大气的边界面(设z=0)上，必须满足动力学和运动学边界条件，其线性化形式为：
其中g是重力常数，P0是大气压。动力学边界条件是根据水-气界面上水压P等於大气压P0再应用伯努利方程而得到，运动学边界条件是根据界面上法向速度连续得到。由于P0可以被吸收到速度势中，如Φ→Φ+P0t，而速度势不在乎增加一个时间有关的项，故可以直接把第一个方程中的P0置零。此处值得注意的是，上列边界条件中忽略了水表面张力的影响【注释2】。两边界方程中消去ζ，得到仅含速度势Φ的边界条件：
对于有限深度d的水层，拉普拉斯方程(4)有如下形式的解：
它在水底z=-d满足法向速度为零的边界条件，其中k为任意常数(后面明白，k其实也是水表面波的波数)，Φ(x，y，t)是Φ在z=0处的取值。从公式(6)可见，水的运动随深度衰减;在深水中，Φ→0。这从另一面说明了水体本身不支持小振幅线性波动【注释1】，与声波完全不同。把形式解(6)分别代入拉普拉斯方程(4)和表面边界方程(5)，得到Φ(x，y，t)所满足的方程：
前者是二维Helmholtz方程，描述了速度势的空间变化;后者是谐波自由振动方程，描述了速度势的时间变化，其中ω由如下频散方程给出：
显然，若无重力场(g=0)， ω=0，方程(7)就不存在具有波动形式的解，Φ在边界上仅仅是(x，y)的空间函数。所以，这是一类重力所致的波动——重力波。二维Helmholtz方程与薄膜的振动方程无异，存在二维波动解;例如，在园对称情形下的贝塞尔函数解
描述了投石湖面激起的同心圆波纹，其中r为湖面上任意观察点离落石点的距离，A为水波幅度。在一维情形下，上列方程具有形如exp(-jkx)的解。再代入形式解，最后得到一维行波解：
此解描述了狭长水槽中水面行波。当d 趋向于无穷(深水)时，表面波解可近似为：
由此得到表面位移和水下任一深度处质点的速度：
因仅存在于水表面层，水波为表面波;逾往深处，波动逾弱(指数衰减)。还可以看出，速度的分量相差90度的相位，表明质点作围绕其平衡位置作圆周运动。
因此，水面波之产生，全因重力之故。重力造成水面的不稳定，某处水位之抬高，必造成临近水位之降低，遂成波动。与之不同，声波之成，在于媒质的可压缩性。事实上，声波之存在与否，完全与重力无关。只有极低频率的次声波，重力场的影响才对声的传播有所影响。当然，与水表面波类似，声也可以存在表面波，如固体表面的声表面波，称为瑞利波。
水波与声波之不同，还表现在水波是高度频散的——传播速度(相速度)是频率的函数，而一般流体(如水)中声波的频散极其微弱，声速几为与频率无关的常数。根据上列水波频散方程，得到水波的波速c(相速度)与频率ω(波长λ)的关系：
其中c0是浅水的波速。下图绘出了水波波速与相对水声的波长之间的关系
可见，短波波速几近于零，长波传播最快，波速近似等于c0。因此频散特性，水波波包极易弥散。而一般流体(如空气，水)中，声波即使传播到很远处，也能保持波形的完整。
【注释1】若水的密度不均匀，如海洋海水密度沿深度方向变化，则可能存在称为内波的体波。
【注释2】若水表面的蠕动如此之大，以致表面曲率很大，则表面张力之影响不可忽略，甚至超过重力;若然，当须计入表面张力。表面张力其支配作用的水表面波，一般称为蠕波，如水中涟漪等。
来源：网易XLwang的博客“聲之韻”
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