| 真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。 通常在某些情况下，线性系统模型可提供对真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近在许多情况下并非总是可靠的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受的误差，使理论结果与实际情况有着失之毫厘，差之千里之别。特别对于系统的长时间历程动力学问题，即使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错误。 非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。 人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。 第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitrpolsky，美国科学家Nayfeh等等。他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、van der Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。 从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Small等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。他们的杰出贡献使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，在动力学、振动与控制学科的创立和发展过程中都占据了重要的地位，成为当代动力学、振动与控制研究的一个重要分支。 近年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展。随着非线性动力学理论和相关学科的发展，人们基于非线性动力学的观点以及现代数学和计算机等工具，对工程科学等领域中的非线性系统建立动力学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略。一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现出的分岔、混沌和分形等复杂非线性现象具有正确的认识和理解。 研究非线性系统动力学的方法可以分为定性方法(或几何方法)和定量方法两大类。定性方法一般不直接求解非线性动力系统，而是从非线性系统的动力学方程入手，研究系统在状态空间的动力学行为。由于非线性微分方程一般没有统一的精确解法，所以定量方法只研究各种近似解法，例如平均法、KBM法、多尺度法、谐波平衡法等等。定性方法和定量方法可以相互补充，定性方法可以得到系统解的拓扑结构和系统参数之间的关系，定量方法可以得到确定参数时的数值解。在研究各种复杂的非线性动力学问题时，两种方法缺一不可。 随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学理论正在从低维向高维发展，非线性动力学理论和方法所能处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近实际系统。在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象已经发生了变化。人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学特性的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求;而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。 科学理论与工程技术总是相互依赖和相互促进的，新的科学理论可以阐明并揭示出工程问题中未被认识的复杂现象和本质。非线性动力学理论在高科技领域和工程实际问题中的应用，已经引起了各领域科学家们的广泛关注，并使这门学科有了强大的生命力。在工程系统中，有许多动力学问题都是非线性的，它们的数学模型和运动方程可以用非线性动力系统来描述。以下仅列出若干机械、结构工程师感兴趣的动力学、振动与控制问题： (1) 航天飞机和空间站中柔性机械臂、卫星天线和太阳能列阵的非线性振动; (2) 航天器姿态的混沌运动; (3) 系绳卫星的非线性振动与控制; (4) 柔性机器人和弹性机构中的非线性振动; (5) 内燃机中曲轴系统的非线性扭转振动、气门机构的非线性振动和离心摆式减振器的非线性振动; (6) 带有裂纹的大型转子和大型发电机组的非线性振动; (7) 滑动轴承中的油膜涡动; (8) 齿轮传动和黏弹性带传动中的非线性振动; (9) 金属切削过程的非线性颤振和控制; (10) 振动机械中的非线性动力学; (11) 高速机车行驶稳定性和蛇行运动的控制; (12) 船舶在横浪或纵向波作用下的横摇运动、操纵稳定性和倾覆机理; (13) 车辆主动底盘系统的时滞非线性动力学与控制; (14) 悬索结构以及悬索和梁结构之间相互耦合的非线性动力学; (15) 流固耦合系统和流体诱发的机械结构的非线性振动。 由此可见，研究非线性动力学理论和方法对于解决工程系统中的实际问题具有重要意义，非线性动力学的研究进展将会对工程系统的研究、设计和使用产生深远的影响。 本文摘抄自胡海岩、孟庆国等人撰写的《动力学、振动与控制学科未来的发展趋势》一文，略有修改，该文刊登于《力学进展》2002年第2期。 |
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