| 编者按 相对于线性问题，非线性问题由于更加抽象，概念更加难以理解，很多非线性动力学初学者都觉得太难，无从下手，因此经常不得不套用一些公式、程序开展相关的“研究”工作。小编初学非线性动力学时也感同身受。机缘巧合，小编在接触非线性动力学不久，看到了《天遇：混沌与稳定性的起源》一书，本书基本没有什么公式，而是用一个个生动的故事将相关的非线性现象、概念以及理论呈现给大家，对于帮助大家理解和掌握相关的知识颇有帮助。小编从中受益良多，故而今天将本书推荐给大家，希望对大家也有所帮助。 本文转载了北京大学大学刘华杰教授针对本书专门写的书评。 原文题目： 天体力学、动力系统和非线性动力学——读《天遇》 作者：刘华杰 那些智力大师的过人本领在于，知大小，即先于常人洞悉什么是重要的和最重要的，并且有能力形成直觉，心无杂念，卧薪尝胆，最终通向那高高的智力顶峰。他不是一揽众山小，而是迅速选定下一个他认为“重要的”的主题。不久，峰峰相望，多领域得到深刻贯通。《天遇》(Celestial Encounter: The Origins of Chaos and Stability，中译本由上海科技教育出版社2001年底出版)一书描述的数十位数学家、科学家几乎都符合这一模式，如庞加莱、柯尔莫哥洛夫、夏志宏等。译名“天遇”受到《庄子·应帝王》浑沌寓言的启发，华生当年译其中“时相与遇于浑沌之地”中的“遇”时就用了“encounter”一词，现在是倒过来往回译!出版社最终采纳了这个简便而有蕴味的译名。 此书名义上由迪亚库(Florin Diacu)和霍尔姆斯(Philip Holmes)合著。先由迪亚库撰写成稿，后者作了大量修改补正。迪亚库名不见经传，以前从来未听说过，原来是罗马尼亚的一个中学教员，后来移民到德国和加拿大。他的确有天赋，自学成才并撰写出博士论文。据说是为了练英文写作，出乎意料地写出一本“内史”派佳著，无法想像他究竟花了多大精力了解那么多历史细节、对诸多复杂理论给出画龙点睛的评论。 第二作者名气颇大，也到过中国，他的大作《非线性振动、动力系统与向量场的分岔》(他仍然是第二作者，第一作者为古根海姆(J.Guckenheimer))列入斯普林格的“应用数学科学”丛书第42种，我还买过一本，只能看懂一小部分。多少有点遗憾的是，作者1985年秋为英文第二版所写序言提到上海交通大学凌复华教授和北京大学朱照宣教授及其学生将组织译出中文版，据了解早就译好了，但不知为什么中文版《非线性振动、动力系统与向量场的分岔》最终没有面世。 《天遇》是那种所述内容和所述人物均让人叹为观止的图书。标题的直接含义是，考虑天体之间的相互作用，它们是否会不期而遇甚至碰撞，体系是否会瓦解?无疑，它与众所周知的n 体问题、动力系统有关，而这是近百年来数学、力学的中心话题之一，引无数英雄竞折腰或者摘桂冠。 在通俗类著作中，它是迄今为止最严格、最系统、最有启示的一部书，比斯图尔特的《上帝掷骰子吗》、吕埃尔的《机遇与混沌》、格莱克的《混沌：开创新科学》、洛伦兹的《混沌的本质》、布里格斯和皮特的《湍鉴》等等，更好更妙。普林斯顿大学出版社把它列入“普林斯顿科学文库”足以证明其特色。 《天遇》以宏大的场面描绘了百年来科学“范式”(paradigm)的转变。这里范式是指自然科学全局思路或者方法，在哲学上是指人们所理解的世界的运行方式，即世界图景或自然观。当然这个图景是就数理科学而言的，不包括生命现象。而且不是指所有的数理科学，因为力学，不包括量子力学，只讨论哲学上所说的“运动”，在“运动-变化-发展”三个层次中，力学只涉及最低层次的“运动”，通常指位置的变化。力学不处理事务或者物质的“质的规定性”，即力学不考虑“主体”本身是什么物质，不管它是碳做的还是铁做的;也不管主体的物质性质方面的变化。通常假定在时间流中主体固定不变，当然这与希腊时哲人就说的一切都在变并且时时在变有出入。也就是说，力学不同于物理学。广义的物理学包括力学，但狭义的物理学与力学是两回事，力学更接近数学，甚至在某种程度上绝大部分力学是数学。近代科学以力学为代表，恰是以科学与关于自然的理论的最好结合为象征，并在此过程中发明了大量数学工具，如微积分，后来还有拓扑等。这范式变化的转折点发生在庞加莱身上，之后数代数学家、力学家一步一个脚印，艰难地前进着，到KAM理论为止算告一段落。 如果以工具之变化论科学之范式变化，那么牛顿以定量微积分为代表，庞加莱以定性拓扑为代表，他们都十分强调几何式理解。牛顿不过想模仿欧几里得以示正统或者美观，其后几何式装饰随定量化之发展而逐渐衰落;庞加莱则是在无奈之下重新发明了新的几何，即拓扑学(当时也叫位置分析)。但庞氏之后的动力系统、天体力学探索，并非抛弃了定量成就，真的是有机地将定性与定量结合起来。微分流形便是一个例子，流形是几何概念，但在流形上进行微积分演算便有了微分流形和微分动力系统;采用可微流形概念也是要化简力学系统，降低自由度，了解微分方程解的全局的、长期的行为(性态)。以“工具”观之，牛顿与庞加莱并驾，无人能比，其他人与他相比都是二流人物。当然这只是就他们所涉及的力学，牛顿还研究光学，庞加莱还研究一般的物理学，对相对论也有独特贡献，那与本论题无关(就近现代物理而言，黎曼的几何对于相对论至关重要)。 就力学，牛顿与庞加莱有何不同?牛顿给出了三定律和万有引力定律，并处理了二体问题，代表天体力学的决定性进步。二体问题的完整解决是约翰·伯努利给出的，结论是二体作用的可能轨道是圆锥曲线。二体运动相空间有12个维度(6个自由度)，表面上极难处理，但利用守恒定律可以把系统的自由度最终降低到1 个自由度。除了二体呢?非常遗憾，至今非二体问题没有一个得到完全彻底的解决，在限定条件下还是有许多严格结果的。特别是，一到3 就麻烦了，老子 说三生万物，在天体系统中，3 个天体组成的系统，完全服从引力定律，却没有办法求出微分方程的解。庞加莱对此理解深刻，他不但没有找出解析解，而且证明乐观派试图寻找的那种解根本不存在，即 3体问题不能通过定量方法去解决。他是在试图赢得奥斯卡国王就n 体问题的悬赏时发现这一点的。他最终也没有解决悬赏的原始问题，但仍然当之无愧地赢得了那个大奖。那个奥斯卡国王奖只是名声大，奖金只有2500克朗。实际上庞加莱“得不偿失”，还赔进去1000多克朗。 究竟为什么，说起来话就长了。不过，这确是科学史上极其有趣极富有人性味的篇章。简单说就是：庞氏的论文已经在《数学学报》刊登出来并已部分发行，此时人们(包括他本人)发现了一个严重错误，主编米塔-列夫勒(G.Mittag-Leffler)停止了发行，并决定收回并销毁所有刊物。现在世界各大图书馆能够见到的那期杂志都是一年后补发的，庞氏支付了全部费用。更奇妙的事情是，1985年明尼苏达的麦吉(R. McGehee)到瑞典偶然发现了一本未销毁的错杂志!无巧不成书，庞氏在对付那个令人痛苦的错误的几个月中，有一惊人发现：浑沌(chaos)，而它注定要成为之后100年自然科学中的核心观念之一(数学家哈尔默斯已经总结过75年中数学中的若干重要概念和进展，chaos列为其一，《美国数学月刊》)。 庞加莱没有解决n体问题，也没有解决3体问题，现在任何人也没有。但是这其中有一个由纯智力构成的浩瀚王国，一大批科学、数学精英为之作出了贡献，第一个人物当然就是庞加莱，还有柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov，概率论的欧几里得，KAM理论的首创者)，塞佩尔(von Zeipel)，阿诺德(Arnold)， 莫泽(Moser，曾任国际数学联合会主席，曾获沃尔夫奖)，斯美尔(Smale，写过《时间之数学》)，李特尔伍德(Littlewood)， 伯克霍夫(Birkhoff)， 莫尔斯(Morse)，潘勒韦(Paul P. Painleve，曾任法国总理，曾提出潘勒韦猜想)，萨瑞 (D.G.Saari,夏志宏的导师)，夏志宏(Zhihong Xia，1962- ，南京大学天文系本科毕业，现在美国西北大学，1993年获首届Blumenthal奖，北京大学长江学者)，斯特尼科夫(K.Sitnikov)， 阿列克赛耶夫(V.M.Alekseev)等等。在这个王国中工作的，大部人是数学家或者理论力学家。王国中壮丽的成就是由严格的几何观念表述的，拓扑因此而生，后来又有符号动力学方法。所有这一切的最原创思想均可直接追踪到庞加莱，贝尔(E.T.Bell)在《数学精英》中说的“最后一位通才”。如英国的杰克逊(E.Atlee Jackson)在巨著《非线性动力学展望》中所说，现代非线动力学如果有一个“圣父”(模仿《圣经》首句)的话那就是庞加莱，但甚至在巨著的开篇用“起初，庞加莱”的字样(In the beginning … 1.1 … there was Poincare)，令人想起“起初，神创造诸天和大地”。 庞加莱得到了奥斯卡国王大奖，但当初他提交的论文有一个错误(去掉错误部分他仍然可以心安理得地获得该奖)，后来他补上了，并因此发现了首先令他自己惊奇后来令所有动力系统学者惊奇的同宿横截现象，他说太复杂了，简直画不出来。他看到了现在所说的浑沌。依他的世界观，他不相信，但那是严格的数学推理。他迷惑了。他是那个时代少有的先知，因而不是那么乐观。他为探索那种神秘的东西发明了一系列工具和洞见，影响了100多年，现在还有效。 非线性动力学浑沌(混沌)意味着什么?不同人有不同的认识。1995年过世的福特(J.Ford，佐治亚理工学院的教授)有深刻的理解，在许多方面他评论得对，《今日物理学》上有他的妙文。但是回想一下，在另外一些方面他的评论不着边际，难怪《科学哲学》杂志上有人跟他叫板。浑沌之普遍存在(这本身不全是个科学问题，还与哲学有关，如模型与实在的关)，暗示简单的自然可预测、可控制道路是行不通的。这是相当令人失望的，科学难道不就是预测和控制世界吗?难道混沌意味着科学之路行不通?微妙之处显现了。 对这个问题的不同解释导致不同派别的科学观和自然观。科学不会终结，并且会大大发展，产生更多新结果，丰富人们对世界的认识，并且作为结果增强人们改造、控制世界的能力。这是显然的，我不认为有什么特别的力量能够扭转这种局面，学术反科学或者非学术反科学都不足以抵挡科学的这种开拓、延拓(数学用语)。但是，科学由于自身已经发展到非线性时代，特别是由于动力系统理论的结果，科学必须反思自己实际上能够做什么能够控制什么。 前文说过非线性动力学源于力学，力学只考虑简单的低层次的“运动”，甚至连“物理”都算不上。它的结论相对于宇宙学、化学、粒子物理学，有什么高妙的?可能不值一提，因为它不涉及“质变”也不涉及系统的“组织”或者“进化”。但是，正因为它是低级的，简单的，所以适用于一切系统。因为它以数学的形式表述，数学是一切科学的工具，现在的复杂行为恰出现在数模型中，而这种模型原则上可以模拟所有领域的所有真实系统。这是问题的要害。在动力系统中不讲“主体”，因为它适用于所有想象得到任何主体，只要那个现实的系统能够近似地抽象成为动力系统。 这里面立即产生一个问题，一个大的疑问：那数学模型与现实世界之间有多少一致性，有何根据说现实世界也有那种行为?这的确是一个致命问题。可以说以前也很难回答。科学哲学时常也面对类似的问题，如实在论(realism)与反实在论就与此有关。但是，现在，恰好利用动力系统的理论，可以令人信服地说明这件事。要用到动力系统中的“稳定性理论”。何谓稳定性?一言难尽，有太多种稳定性(有严格定义)，但简单说稳定性是指“某种东西在某种扰动下的某种保持性”。这里“某种”是科学上严格限定的，有丰富的内涵，这里不表。动力系统理论妙就妙在，对于诸多系统出现的性质、行为，讨论它们的稳定性，并且证明了有时存在稳定性有时不存在，或者存在某种特别的稳定性。某种不变环面(tori)的保持性意味着稳定性，但是对于高维系统，环面存在并不能保证存在稳定性，阿诺德给出了一个实例。最常讲的稳定性有运动稳定性 (对初值扰动)和结构稳定性(对函数、对系统整体扰动)，这两者必须区分开，两者都有用。稳定性起到了沟通实在的桥梁的作用。在物理上这对应于某种“粗粒化过程”。(这种关系类似于现在数理经济学与一般实用经济学的关系。)动力系统理论指出，在某些条件下，就一定出现某种行为。现实是复杂的，不会老老实实服从科学家的描述，特别是在建模时，要考虑大量的简化和假定，不会简化、不敢假定一定不是好科学家，可参见安德罗诺夫的《振动理论》前言。考虑了建模的误差，永远也无法消除的误差，理论结果与实在世界的运作之间总是有差别的，科学现有结论总是不满足捕住实在的要求，也正是这一点使科学无尽地发展下去。但是，同时，稳定性理论等也提供了数学之物理有效(特别是数学有效)的根据(本来数学与物理是可以分开的，对应于科学哲学上的分析命题与综合命题之分)。 概括起来讲，非线性动力学提供了如下全新的思路和工具：1)整体定性的观念;2)关于稳定性的分析工具。用伯克霍夫的话讲：“动力系统的目的就是利用系统的定性性质完整地刻划动力系统运动的整体。” 这两条都与局部的、分析的旧思路不同。可微性是局部的，微分方程解存在/唯一性定理通常也是局部的，但现在要更关注解的长期行为，并且不是单个解的行为，而是相空间所有解的全部可能的行为。只有把这种全局性的结构搞清楚，才能对系统有深入的认识，这时是否解出某一个具体解，已经不再那么重要。问题是，根据KAM等理论和阿诺德扩散，定性全局图极其复杂，复杂得超出了想像。对于n体问题，当n大于3时，是否存在非碰撞的含有奇点的解?这是一个定性的问题，被称作潘勒韦猜想。萨瑞、麦吉、马瑟、塞佩尔、杰弗(J.Gerver)、夏志宏都曾不断向它发起冲击，最后夏就n大于4的情况证明了该猜想。至于n等于4时，该猜想是否成立，现在还不知道。 动力系统研究主要依靠定性分析，但其中也大量使用定量方法，其复杂程度非常人所能理解。当年莫泽证明KAM定理时曾经考虑了一个函数的333阶导数!(见《中国大百科全书》天文卷)我们学分析时最多用到3阶导数，极个别时也许用过4阶导数。这一领域的重大结果发表时，一篇论文就长达100到200页，有时接近300页。这可不是人文社科领域的某些充数文字，而是定义、引理、定理、系定理之类严格的推理。审读这样的论文也相当困难，通常难以判断其中是否有某种漏洞，因为人人都可能出错。夏志宏证明潘勒韦猜想的第一次投稿论文，足足被审了两年，答复是“无法判断证明是否正确”!最终他又仔细修改论证，争取表述得更清楚，并补证了许多直觉上显然而原来没有给出证明的命题。幸运的是，普林斯顿的马瑟(John Mather)教授1991年在一个讨论班上长时间讨论夏的证明，学期结束时马瑟递交了他的审稿意见：夏的证明是正确的。夏的论文1992年发表在《数学年刊》。1993年获大奖，当时他还是副教授。夏志宏很可能赢得今年的菲尔兹奖，预测是否准确8 月份即可见分晓。 定性方法由于庞加莱的开拓性工作而成为一个新时代的主力工具，但是有趣的是，现在定性方法之所以能够真正复兴，还有赖于与其反面：计算机的离散计算!庞加莱那个时代不容易取得进展，在于仅仅借助于头脑的想像还不够，走不了很远。从20世纪50年代开始，纯数学家也用计算机(在论文的证明中是绝对不能用计算机数值计算代替的)，主要想获得一些形象上的启发，然后再用纯数学的方法给出严格证明。值得向人文社会科学工作者指出的是，定性不等于不精确、不严格，恰相反，数学中的定性是精确的和严格的，如大于、小于、有界于、收敛于等等。对于高维系统，分析与数值模拟都遇到了困难，几何直观已经失掉，少数大师头脑中还能保存或者洞见一些几何影像，而普通人物则没有了直观的帮助。于是又有一个问题：几何方法能够走多远? 考虑这些，加上浑沌、其他奇异性的存在，我们实在没有过分乐观的理由。 当考虑动力系统的结果对各种社会、经济系统同样适用时，我们采取的人为控制和对其运行动态过程的理解都是成问题的。只要找到相互作用对象之间的关系，它们就可以抽象成为动力系统，就可以用现成的方法研究。动力系统理论是自反的，可以用于科学事业整体的时间演化，从动力系统理论中也可以瞥见科学的局限性甚至危险性。 而所有以上说的，都还不涉及高层次的质变和系统进化，如果考虑“运动-变化-发展”中的后两者，或者把三者结合起来，那是何等复杂。有人声称“我完全理解了这个世界”，这怎么可能呢，这是无知的表现。回到n 体问题，引用莫泽的一段话：“太阳系是稳定的吗?确切说，答案还不知道，但是由这个问题已经引出了许多深刻的结果，它们可能比对初始问题的解答更为重要。”(这段话广为引作卷首语或者章首语) 最后，不是不重要的，《天遇》作为科普作品或者科学史著作对一般读者，可能仍然算是“艰深”，但如果不要求读懂全部或者一半以上的话，它提供了大量的信息，有相当多是极有趣的，是可读的。比如大量这样的故事： 1)柯尔莫哥洛夫从手稿上抬起眼睛望着他的学生。“年轻人，”他一字一句地说，“你已经解决了希尔伯特第13问题!”(第263页)这个年轻人就是阿诺德，KAM理论中的第二人。 2)阿诺德对科学史有自己独特的认识，他曾说：“在我看来，从惠更斯和牛顿到黎曼和庞加莱的200年间只充满了计算的荒漠。”多大的口气!当然这表示他对创新性的定性结果的重视，中间有计算、分析时代只是小打小闹。西方记者采访阿诺德的一篇文章还指出，阿氏曾说他很少读西方人的数学论文，理由是不想捣乱了自己的思路(《数学译林》)。而西方学者听后，没有人表示疑义，用时尚的话讲阿诺德就是一个字：牛。他倒像费曼那种量级和那种类型的人物。 3)莫泽到莫斯科访问时，那里的拓扑学家诺维科夫(S.P.Novikov)只有二十几岁，默默无闻，他请求莫泽把自己的论文带到西方，分发给普林斯顿的同行，他唯一的希望是在一份有声望的西方杂志发表自己的论文。莫泽冒着激怒苏联当局的风险满足了诺维科夫的愿望。诺维科夫的论文发表在《数学年刊》上，1970年他获得菲尔兹奖。 4)柯尔莫哥洛夫多才多艺，暂不说他的研究历史，他发表过用统计学证明了孟德尔遗传学的论文，触犯过李森科主义。他还反对过学生阿诺德研究心脏的振动问题，理由是它不是一个经典的数学物理问题，而后来加拿大麦吉尔大学的学者在这一方向上做出了漂亮的结果。 总之，《天遇》难遇，值得细读，慢慢品味。 来源：水木社区 |
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