| 作者附言：本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值;而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩(Vanishing Moments)条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。 小波的消失矩的定义为，若 4、正则性 在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。 消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波(比如，样条小波，Daubechies小波等)来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。 5、相似性 选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。 二、常见的小波基 以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。Haar，一般音译为“哈尔”。 Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。 Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。 2、Daubechies(dbN)小波 Daubechies，一般音译为“多贝西”。 Daubechies小波(紧支集正交小波)是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。 dbN小波的特点是随着阶次(序列N)的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性(即非线性相位)，即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表达式(除了N=1外，N=1时即为Haar小波)。 3、Symlet(symN)小波 Symlet小波函数(近似对称的紧支集正交小波) 是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3,…,8)。symN小波的支撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。 4、Coiflet(coifN)小波 根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。 5、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波 为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函娄进行重构。 双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k δl,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。 该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相位和较短支集的特性。 6、ReverseBior小波 由Biorthogonal而来，因此两者形式很类似。 7、Meyer小波 Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支撑的，但它的收敛速度很快。 8、Dmeyer小波 Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离散小波变换的计算。 9、Gaussian小波 Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。 10、MexicanHat(mexh)小波 Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数。因数它的形状像墨西哥帽的截面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。它在时域和频率都有很好的局部化，但不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。 11、Morlet小波 Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解。 12、ComplexGaussian小波 属于一类复小波，没有尺度函数。 13、ComplexShannon Wavelets：shan 14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets 复高斯B样条小波：样条函数(splinefunction)指一类分段(片)光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。 15、ComplexMorlet小波 Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。 参考文献 【1】葛哲学，沙威.小波分析理分与MATLAB R2007实现[M].北京：电子工业出版社，2007. 【2】魏明果.实用小波分析[M].北京：北京理工大学出版社，2005. 【3】董长虹. Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社，2004. 【4】张颖超，茅丹，胡凯.压缩传感理论在心电图信号恢复问题上的研究[J]. 计算机研究发展，2014，51(5)：1018-1027. 【5】wcrzq，microwest.紧支集是什么意思，求详细解释，谢谢.百度知道 【6】zhaodong584584. 消失矩阶数，百度百科 【7】well3216. 对消失矩的理解(转载自matwav)，CSDN博客 【8】小米. 小波消失矩，新浪博客 【9】muchi1234. 正则性，百度百科 【10】洋务大臣. 样条函数，百度百科 【11】其它网络资源，Thanks!!! 来源：CSDN博客，彬彬有礼的专栏 作者：jbb0523 |
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