| 早在学习数学分析时，我就已经接触过卷积的概念。然而，彼时年少，水平有限，没有完整地理解卷积的概念和精髓，这个遗憾一直持续至今。接触到卷积神经网络 (Convolution Neural Network, CNN) 之后，旧事重提般地，想要了解清楚卷积的冲动就愈发强烈，终至此文。这是一篇介绍性质的文章。文中的公式、动画效果限于网页的表现力，无法表达至完美。 初识卷积 1. 一问卷积「卷积」这个词给人的第一印象就是「萌萌哒」，因此，恐怕很多人听见卷积的第一反应会是：「卷积可以吃吗？为什么要叫这个名字」。 粗暴地回答的话，理由有三： · 卷在这里对应英文的convolve 这个单词，在卷积这个概念中，它的本意是「翻转」； · 积在这里对应乘积，因为卷积是通过两个函数/序列的乘积实现的； · 它真的是在「卷」——把多个乘积卷在一起变成一个值。 2. 形式定义 在具体介绍卷积是什么、为什么是这样、有什么用之前，让我们预先「先入为主」地看一看一维卷积的定义是什么样的。 · 离散形式： 如果你仔细观察离散卷积的定义，你就会发现，它也可以写成如下等价形式。 一维离散卷积 在详细介绍一维离散卷积之前，我们需要先了解什么是「线性时不变系统」。此后，在脉冲激励和冲激响应的叠加中，我们就能得到卷积。1. 线性时不变系统 所谓线性，说的是系统的输出对输入满足齐次性和叠加性。这也就是说，若输入x1(τ) 和x2(τ) 分别得到y1(τ)和y2(τ)，那么对于任意的常数c1, c2满足c1x1(τ)+c2x2(τ) 的输入在系统的作用下产生输出c1y1(τ)+c2y2(τ)。 所谓时不变，说的是系统对固定输入的输出响应不随时间发生变化。这也就是说，若输入x(τ) 得到输出y(τ)，则若输入x(t0+τ) 得到输出y(t0+τ)。 2. 冲激和响应 信号系统的输入，称之为「激励」。对信号系统来说，它通常会接收一连串的激励。这一连串的激励，通常在瞬时发生，然后消退。因此信号系统的输入又称之为「脉冲激励」，简称「冲激」。若以y 记信号系统的冲激，则它应该是一个序列y[n]。具体的值y 或yi 表示第i 时刻信号系统接收的脉冲激励。 若你不太理解为何响应会在冲激发生之后持续一段时间，那么你可以把自己比作一个信号系统。当你遇到什么开心/不开心的事情之后，你高兴/伤心的情绪不会只在那一瞬间出现，而是会持续一段时间。 3. 连续冲激的响应 现在我们知道几个事实： · 系统接收到一份输入后，其后的一段时间内会陆续给出输出响应； · 系统会连续收到若干输入； · 系统是线性时不变的。 特别地，输入冲激 接下来，你只需要纵向观察表格，将每一纵列的值相加，就能得到相应时刻的系统输出响应了。 4. 离散卷积 从上面的分析中，可以看出，对于任意时刻n，系统的输出是 5. 定投的例子 现在假设有一个一年期定投项目，它的利率始终保持不变。因此，整个定投项目可以视作是一个线性时不变系统。 · 最终收益对投入的资金是线性累加的； · 利率不变，意味着任何时候投入资金的效果是一样的。 因此，你可以定义响应序列 若以m 为「自变量」，则y[n−m] 相当于把y[m] 的图像左右翻转（这即是翻转的来源），然后再向右移动n 个单位。而当n 增大时，相当于x 不动而y 沿着轴线向右滑动。当x 和y 重叠时，计算重叠部分的乘积，然后加和得到最终结果。这个加和的过程，放在连续函数的情景下，就是积分了。将这个过程，制作成动态图如下。 6. 怎样卷 通过观察 不难发现，m(n−m)-二维平面上斜率为−1的斜线族，其中每条这样的斜线（包括没有画出来的）都表示了一个卷积。特别是，斜线上每一个整数点的横纵坐标相加（即是m+(n−m)）都是n。因此，斜线对应的卷积是(x∗y)[n]。这样，我们就建立了斜线与卷积值之间的对应关系。 现在，把m(n−m)-二维平面想象成一块无限薄的地毯。接下来，我们沿着斜率为−1的直线方向，把地毯卷起来。这样，我们就将地毯卷成了一条直线。而这条直线上的每个点，都对应了原平面上的一条直线。也就是说，在「卷地毯」的过程中，原平面的直线纷纷坍缩成了一系列的点。而这些轴线与其上的点，正可作为是卷积(x∗y)[n] 中n 所在的数轴。 这就是为什么我们说，卷积它真的可以「卷」了。 7. 二问卷积 至此，一维离散卷积相关的内容，我们就介绍完了。现在我们回过头来看看，在介绍一维离散卷积的过程中，卷积表现出了哪些特点。 我们是通过线性时不变的信号系统引出卷积的概念的。若仍以信号系统的说辞为例，则不难发现： · 一个脉冲激励可以影响到信号系统在若干时刻的输出； · 从另一个角度，这也就是说，信号系统任意时刻的输出，取决于相关的多个冲激输入。 也就是说，和一般的函数不同，信号系统的输入和输出不是「一对一」的关系，而是「多对多」的关系。我们在后续介绍卷积神经网络的时候，会看到这一特点的作用。 此外，仍以信号系统的说辞为例，我们也不难发现，系统的最终输出，一方面取决于输入的激励信号长什么样子，另一方面取决于冲激响应的模式。这两方面相互作用（就是卷积），最终决定了信号系统的输出。 在后续对一维离散卷积的观察中，我们发现，连续地求解多个卷积值的时候（即，求解n=0,1,2,…的卷积值时），我们实际上做的事情可以归纳成： · 翻转输入信号； · 输入信号沿轴线向前滑动； · 输入信号与冲激响应叠加的部分分别求积，然后相加。 而实际上我们发现，在卷积的定义中，x 和y 是地位等同的。这就是说，我们也完全可以选择翻转而后滑动冲激响应的模式，再去求积、叠加。此时，我们通常会把冲激响应称为「卷积核」，而把整个过程形象地称之为：滑动卷积核。 二维离散卷积 1. 定义恭喜你，现在我们进入「高维宇宙」。 首先，让我们回顾一下一维离散卷积的定义。 若仔细观察公式，不难发现，我们在二维卷积中遇到的问题和在一维卷积中遇到的问题完全一致。二维卷积具有和一维卷积几乎完全相同的性质、特点、作用。和一维卷积一样，二维卷积也可以看做是加权平均的推广：以x 为权，以(n1,n2) 为中心，将y 距离中心(−m1,−m2) 位置的值乘上x 距离中心(m1,m2) 的值，最后加到一起。 2. 图像的滤镜 在实际应用中，卷积核x 的有效部分总是有限的。例如，下图展示了一个3×3的卷积核，在图像上的滑动。 我们将上述三个矩阵以Python 实现出来，就能看到它们的效果了。其效果如下图所示。 3. 三问卷积 在介绍一维卷积的过程中，我们已经讨论了卷积本身具有的特点。但是，也留下了一个问题：卷积在抽象上，到底有什么意义呢？ 站在人类的角度，我们先入为主地将上面3个示例的卷积核当做了「滤镜」。然而，事情真的是这样吗？如果我们忘记「滤镜」这一先验知识，那么我们可能会把这件事情，简单地以更抽象的方式描述为「卷积核处理图形」。没错，这仅仅是一个「处理」过程而已。现在我们回想一下，环境中的真实景象，也是经过我们的大脑处理之后，在脑海里形成实际的画面的。你知道同一个真实景象，在不同生物的眼里是不一样的。那么，你就不难发现，不同的生物因其进化路径不同，大脑对环境真实景象的处理也不同，因而脑海中看到的景象也就不同。这与我们用不同的滤镜处理图像，得到不同的滤镜结果，何其相似？ 刚才我们说到不同生物眼里的世界是不一样的。那么，更深入地理解一下这份不同，我们会否领会到更多的东西呢？ 比如，我们可以思考：为什么自然选择会让不同的生物看到不同的景象？答案其实很简单：因为适者生存。蛇类的眼睛，按照人类的意识，几乎不能视物；然而因为经常需要夜间活动，所以蛇能够以红外的方式「看到」这个世界。青蛙的眼睛，难以察觉到静止的事物；然而因为它只对「会动的虫子」感兴趣，所以青蛙具有奇佳的动态视觉。 站在更广的时间维度上，我们可以这样回答这个问题：对于具体的某种生物来说，因其生存需要，它只对某种形式的视觉效果感兴趣，因而其视觉处理系统进化成了当前的模样。简而言之，不同的生物看待世界的方式，有不同的侧重点，因而将同一个真实景象处理成了不同的模样。 这里我们对生物的视觉效果进行了展开分析。这不是我要「跨界」当「神棍」，而是想以一种直觉的方式，以普遍的现象为对比，试着能够更好地理解卷积的意义。 至此，我们可以比较容易地制作出一张对应的表格。 卷积神经网络 有了这些关于卷积的知识基础，现在我们可以讨论卷积神经网络了。我们假设你已经对神经网络有所了解，因此就不去从感知机开始，逐步地介绍了。1. 图片识别任务 这个例子，来自于YJango的卷积神经网络——介绍。在介绍二维离散卷积的时候，我们以图片为例。这是因为，图片是天然的二维像素矩阵组成的数据形式（RBG三通道即是3个矩阵）。因此，专业里我们也以图片识别任务为例，展开对卷积神经网络的介绍。 2. 前馈神经网络 对于这样的图片识别任务，使用深度前馈神经网络来解决，当然是可以的。 经过大量的训练，这样的神经网络可以很好地完成识别任务。然而，这样的网络设计，也可能存在一些问题。 那么，怎么办呢？ 最最简单容易想到的办法，就是增加训练时的训练样本。如我们能够让样本覆盖所有情况，那么训练得到的神经网络自然就可以识别所有的情况，并给出结论了。不过，最简单容易想到的解法，往往暗含各种各样的问题。首先，我们的图片识别任务中，图片都是4×4的小型图片。对这类图片，穷举所有可能，其总数也只有216张。对于这种类型的问题，穷举所有情况，大致是没有问题的。然而，实际生产中，我们遇到的问题，其复杂度要远远高于现在我们所言的「玩具问题」。在实际问题中，我们不可能让样本覆盖所有情形。另一方面，若是简单粗暴地扩增样本容量，就失去了模型「预测」的意义了。换而言之，这就不是我们追求的高可泛化的模型了。 3. 表意的平移不变性——对问题的深入思考 扩大训练集的解法，当然也是一个办法。在实际生产中，有些时候也确实需要扩大训练集，以解决一些欠拟合的问题。然而，正如任何定理都有其适用范围，我们也需要斟酌扩大训练集在当前任务中是否合适。显然，有上面的分析，在当前任务中，这不是个好办法。 那么，问题出在哪里呢？或者说，我们应当在哪个方向前进，以便解决这个问题呢？在上面的分析中，我们有提到一句话：「在我们的神经网络示意图中，左上角的横折和位于中间的横折是完全不同的两个向量」。我想，若你足够敏感，应该能意识到什么。 不好。这很不好。在表意上，位于图片左上角的横折之于位于图片中间的横折没有什么差别。也就是说，在图片上任意平移横折的位置，其表意不发生变化。我们称之为表意的平移不变性。然而，在我们的神经网络中，这两个横折在输入层的表现居然没有什么共同点。显而易见，这是不合理的。因此，在遇到的这个问题中，我们首先应该考虑的，不是扩增训练集，而是应当考虑我们神经网络是否足够好地适应当前的问题。 那么，我们的神经网络中，问题出在哪里呢？ 首先，我们的神经网络是针对每个像素的具体情况进行训练的。其次，图片上的区域各自为政，没有关联。也就是说，我们的神经网络，很难捕捉到相邻区域中几个像素点（特征值）的结构信息。另一方面，我们的神经网络，也没有以一种一致地视角，去看待每一个局部的结构。这样一来，我们的神经网络就可能会把位于左上角的横折与位于中间的横折，当成两个完全没有关联的图形。这显然是不合适的。 4. 引入卷积 至此，就轮到卷积出场拯救世界了。 我们回顾一下简单的前馈神经网络在当前任务中遇到的问题：无法一致地捕捉局部的结构信息。再来回想一下卷积的特点：以一个固定的卷积核，收集相邻特征信号的信息，加权平均得到卷积值。啊！卷积的这些特点，不就正好弥补了当前前馈神经网络的不足吗？ 于是，我们可以设计出这样的网络结构。 在这个过程中，神经网络的参数，除了隐藏层中的各个神经元上的参数，还有卷积核的具体内容。也就是说，卷积核的大小是固定的，但是它长什么样子，是需要具体训练的。 这样引入了卷积的神经网络，就是卷积神经网络 (Convolution Neural Network, CNN) 了。当然，在实际使用中，还常常引入名为池化 (Pooling) 的技术，这里按下不表。 5. 不变性的讨论 有了卷积，我们的神经网络就能一致地去捕捉输入信号局部的结构信息。特别地，由于卷积核在不同位置上是共享的，所以笔画的平移在神经网络看来，就不影响表意了。因此我们说，卷积神经网络满足了平移不变性。 那么，是否还有其它的不变性呢？当然是有的。比如，我们现在的横折由3个像素在2×2的局部中组成。那么，若是将它放大，在3×3的局部中，用5个像素去组成横折，是否也可以呢？答案是显而易见的：大猫也是猫，大狗也是狗。这种现象，我们称之为缩放不变性。那么，当前的卷积神经网络，是否能解决这样的问题呢？我们说，不能。因为我们当前使用的卷积核是2×2的，它无法去捕捉3×3的局部结构中的完整信息。因此，当前的卷积神经网络，没有满足缩放不变性。若要满足缩放不变性，我们可以考虑用不同大小的卷积核，分别处理原图像；或者，可以考虑在卷积层的基础上，再用卷积处理一次。 又比如，假设我们不识别笔画，我们识别图片中的铅笔。在图片中，除了说铅笔可大可小，位置上可以在图片上游走，铅笔还可能以不同角度出现——横着放的、竖着放的、斜着放的。但不论铅笔如何摆放，它都是铅笔。这种现象，我们称之为旋转不变性。不过，很遗憾，由于卷积的特性所限，我们无法简单地用卷积，让神经网络满足旋转不变性。 6. 卷积神经网络直觉上的优势 上面我们讨论了卷积的特点。因此，我们不难总结卷积神经网络的一些优势。 · 适用于相关元素（特别是相邻元素）中存在结构特征的情况； · 适用于上述结构可能出现在不同位置的情况。 现在，我们考虑一下分类问题。对于分类问题来说： · 在分割线（可能是超平面、超曲面）附近，样本往往存在特定的结构特征； · 输入的样本，可能位于分割线的不同位置，因此上述结构也可能出现在分割线的不同位置。 分类问题的这样的特点，恰恰符合了卷积神经网络的优势。因此，人们常常偏向于认为：「卷积神经网络可以在分类问题上表现得好」。 原文链接： https://liam.page/2017/07/27/con ... ion-neural-network/ 来源：始终博客，作者：Liam Huang。 |
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