弹性力学有限元分析中一个问题，你真的理解吗？

2020-6-17 15:35| 发布者: weixin| 查看: 542| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 有限元方程的得到，首先需要推导单元的刚度矩阵，然后合成刚度矩阵，得到集成的整体刚度矩阵，从而列出有限元方程求解。

有限元分析中，最终得到的有限元方程如下形式：

其中，[K ] 为合成刚度矩阵；{δ } 为各节点的位移；{R } 为各节点受到的外力。

在弹性力学分析中，有一个初学者很容易犯的错误：{R } 中不包含约束力。你如果这样认为，那么在求解时会发现一个问题，就是当根据最后的集成有限元方程（{R } 中只有约束的位置设为0，即不考虑约束力），解得各节点位移后，再带入有限元方程，会发现 {R } 中只有约束的位置不是0。而一些书上概念没搞清，{R } 中有约束的地方直接设为0，如果没验算一下，也不会发现这个问题，而学习的人模仿书上的例题照葫芦画瓢，又想着有限元方程是根据虚功原理推出来的，虚功原理是不考虑约束力的，自然觉得这没问题，当发现问题时就hold不住了，这种整个过程都认为没问题，最后结果有问题的时候最让人抓狂了，有木有！

这回貌似真懂了，解释一下：

有限元方程的得到，首先需要推导单元的刚度矩阵，然后合成刚度矩阵，得到集成的整体刚度矩阵，从而列出有限元方程求解。是的，在推导单元刚度矩阵时是使用了虚功原理，虚功原理也确实不需要考虑约束力，但是试问一个物体的刚度矩阵和所受的约束有关吗？问题就在这，虽然使用了虚功原理，但在求单元刚度矩阵时就根本不涉及约束的概念，有木有！

所以在求解有限元方程时，{R } 中需要包含约束力，即 {R } 包含两部分：

虽然有些约束力不知道，但仍要在方程中体现出来，而有限元方程的求解正好不需要这些约束力的参与（划行划列会把不知道的约束力划去），而且求解得到各节点位移后，根据有限元方程还能求得约束力。具体求解书上写的很清楚（可见书上也相互矛盾的，前面说 {R } 中不包含约束力，这里又要对约束力进行分析。）

把上面的有限元方程写成分块的形式：

其中，{δ1} 是无约束的自由节点自由度向量，即未知自由度向量；{δ2} 是有约束的节点自由度向量，边界处的位移；{R1} 是已知的节点力向量（主动力）；{R2} 是未知的节点力向量（约束反力）。

于是在方程组中第一式为

此处 [K11] 是非奇异的，所以

这就是未知节点位移求解式。

当 {δ2}=0时，有

这就是当已知边界节点位移为0时，矩阵划行划列后的结果。于是可以求得约束处的约束反力为

来源：新浪了凡春秋的博客

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