| 实际工程中处处可见受压杆件，如桁架结构中的受压杆件、曲柄连杆、千斤顶丝杠、压缩机活塞杆、建筑结构中的支柱、高架公路或铁路桥的立柱……等等。在金属材料还没有大量应用时期，早期的压杆如建筑结构中的柱，采用木材或石头等材料，主要承受压力作用，压杆也可以称为柱。随着工业和工程材料的发展，如钢铁的大量应用以及高强度合金的出现，使压杆的设计由粗变细。人们对压杆的认识在实践中不断深化，其中也包括从各种错误所引起的灾难性事故中去寻求和探索它的规律。 一、人类早期文明时的压杆—柱 人类文明早期的柱（石柱、木柱）就是典型的压杆。大约六七千年前，我国新石器时代的房屋，具有代表性的营建方式主要有两种：一为长江流域多水地区的干阑式建筑；另一为黄河流域的木骨泥墙房屋。这两种营建方式都离不开柱子。从浙江余姚河姆渡干阑式建筑遗址中，发掘出有截面为圆形和方形的木桩。在河南、陕西一带仰韶文化遗址的土木混合结构中，虽然木柱早已腐朽，不复存在，但是从遗留下来的不少圆形柱洞可以推测柱子也是圆截面的。此后，木柱大多是圆柱，逐渐又出现了各种正多边形截面的柱子，如方形、八角形、瓜棱形等等。干阑式建筑，吊脚楼 山西运城上世纪的土木混合结构房屋，土墙中都有木骨架 山东济南长清县孝堂山的东汉石祠，是我国现存最早的一座地面房屋建筑，它的石柱是八角形的。在山西五台，现存最古老的唐代木构建筑南禅寺大殿，大殿面阔、进深各3间，平面近方形，单檐歇山灰色筒板瓦顶，檐柱12根，其中有3根抹棱方柱当是始建时遗物，还有现存最大的唐代木构建筑佛光寺大殿，有径高比为1:9的圆柱。北岳恒山悬空寺，位于山西大同市恒山风景区内翠屏峰的峭壁上，这是建于北魏后期的，集佛、道、儒三教于一体的寺庙，整个建筑靠十几根碗口粗的木柱支撑，有楼、阁、殿、宇四十余间。山西太原晋祠，圣母殿前廊柱上有雕饰木质蟠龙8条，蜿蜒自如，盘屈有力，是宋元祐二年（公元1087）原物。蟠龙柱形制曾见于隋、唐之际石雕塔门和神龛上，在国内古代建筑已知的木构实物中，以此最古。宋代建筑的三大手法均体现在晋祠圣母殿的建筑结构中：减柱造法、柱侧脚、柱升起。其中第二种“柱侧脚”根据宋崇宁二年（公元1103年）颁布的李诫著《营造法式》一书中规定：凡立柱并令柱首微收向内，柱脚微出向外，谓之“侧脚”每屋正面隋柱之长，每尺即侧脚一分，若侧面柱一尺，侧脚八厘，至角柱，其柱首相向，各依本法。若长短不定，随此加减。晋祠圣母殿四周檐柱都有侧脚，与《营造法式》中规定尺寸大体相符。这一做法的应用，既可以使四周檐柱柱身按照所规定的比例向里倾斜，形成一定的侧脚，避免梁枋脱榫松散，增加建筑物结构上的稳定性。同时也给人一种安全的感觉，这是我国古代建筑物结构上的一项突出的成就。 孝堂山的东汉石祠 禅寺大殿 光寺东大殿 思成与林徽因在佛光寺考察 北岳恒山悬空寺 晋祠圣母殿 几千年来，柱子大多采用圆形和各种正多边形截面，如果说原始社会时采用圆柱是为了减免加工的话，那么后来采用这样的柱子，与梁多用矩形截面不同，除了艺术、宗教等因素外，显然也反映了力学上的经验。 尤其值得一提的是“拼合柱”。建于1008～1016年间（北宋前期）的浙江宁波郊区灵山之麓保国寺大殿，是一座木架建筑，创于东汉，建于唐代，兴于北宋，是中国现存最古老的木结构建筑之一，也是中国江南幸存的最古老最完整的木结构建筑。现存的大殿是北宋祥符六年，即公元1013年重建。其建筑特色有很多种，这里只介绍其中一个，大殿的四个柱子，是用拼合法制成的，其中三根是由八根木料拼成的八瓣形柱子，一根是由九根木料拼成的八瓣形柱子，截面形状如下图所示，这是国内已知的最早拼合柱实例。此后，在1103年问世的李城《营造法式》中，也有“三段合”和“四段合”等拼柱法，截面形状如图所示。其拼合方法与保国寺大殿稍有不同。古人说：“屋大柱小，可为寒心。”但是，大木柱不可多得。用小木料拼成大木柱，不仅可以解决大木料来源上的困难，而且牢固拼合成的大柱比几根单独的小柱，具有较大的承载能力。这样就使得小材料做大柱，既节省了木料，降低了成本，又不影响牢固，还美观，一举多得。（保国寺的大柱的建造时间，宋代李诫的《营造法式》的出版时间，比达芬奇早了三四百年。中国古代对组合柱的认识还是非常深刻的，并做了应用。但是这只是一个经验，并没有上升到一种理论。） 保国寺大殿柱子的截面形状 《营造法式》中“三段合”和“四段合”截面形状 保国寺 保国寺殿内拼合柱 在国外，古希腊人建造神殿时，采用了“仿生学”的方法来确定柱子的尺寸。他们测量男人的足印，并把量得的这个尺寸折算成人高，发现足长大约是人高的1/6。于是他们将这个比例用到柱子上，取柱高（包括柱头）等于柱基尺寸的六倍。后来，他们建造纪念一个女神的神殿，由于女人比男人显得苗条，所以此时把柱粗改为柱高的1/8。 古希腊神殿 总之，此时期对于柱子尺寸和形状，是用直观的、经验的或其他的方式来确定的，其承载能力没有成熟的力学分析方法。 二、从文艺复兴到20世纪初叶 文艺复兴以来，人们逐渐开始用理论和实验分析的方法研究柱的承载能力问题。1. 早期考虑压杆的人 达·芬奇 (1452~1519) 不仅是文艺复兴时期一位卓越的艺术家，以他的画知名于天下，而且他还是一位伟大的科学家和工程师。他对力学特别感兴趣，在他的笔记中写道：“力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。”在1476年到1497年，达·芬奇在跟他老师学绘画同时，也在进行自然科学的研究，他在机械和力学方面做了很多重要的工作，现在认为对于压杆，最有开创性的工作，应该是从达·芬奇开始。达·芬奇认为高度一定的柱的承载能力与其直径的立方成正比。达·芬奇做了实验：用一根铁丝，下端固定，上面施加压力，看这个铁丝在多大载荷时弯曲，然后把两根铁丝粘（捆）在一起施加压力，看其弯曲时的载荷，依次用多根铁丝捆在一起，施加压力，看弯曲时的压力。研究发现：多根柱子紧密结合在一起，其承载能力，比各自承载能力的总和大许多倍。他似乎从实验得出这样的结沦；高度—定的柱子的承载能力与其直径的立方成正比。同时他又认为，截面一定的柱子的承载能力与其长度成反比。他还尝试确定当柱子的高度和直径都改变时，其承载能力将如何变化。 列昂纳多·达·芬奇 荷兰乌德勒支大学和莱顿大学物理学教授穆申布罗埃克 (P. van.Musschenbroek, 1692~1761) 测定了多种材料的力学性能。在1729年《物理实验与几何》一书中，他介绍了实验的设备和方法，而将实验的结果收入另一著作《物理论文》中。通过对枞木杆的受压实验，他得出“压曲载荷与杆长的平方成反比”的重要结论。这个结果15年后由欧拉从理论上推导出来。当时的工程技术人员甚至一些有名气的学者并不承认这一重要结论，仍坚持认为柱的承载能力只与其横截面面积有关，而与它的长度无关。 2. 欧拉和拉格朗日的贡献 梁的各种弯曲情况 众所周知，数学家欧拉从弹性曲线的研究中得出了压杆稳定问题的临界力公式。他在1744年出版的变分法专著中，推导出了上图a所示梁的大挠度弹性曲线的微分方程。欧拉还研究了图2所示各种弯曲情况，并按外力方向与力作用点处曲线切线的夹角大小进行分类。当夹角很小时，引伸出上图b所示柱的纵向弯曲这种重要情况。欧拉得到细长压杆失稳后弹性曲线的精确描述，并指出使它压曲的载荷（后来被称为欧拉临界力）可用下式计算： 欧拉出生在瑞士，是一位天才的数学家。他大器早成，13岁入大学，16岁得到硕土学位，23岁成为俄国圣彼得堡科学院的成员，26岁就任该院数学部主任。1741年赴德国任柏林科学院院土，25年之后又再到俄国。欧拉一生有大量的著述问世，是一位勤于耕耘的学者。最令人敬佩的是，他在困难的条件下对科学的执着追求和奉献精神。欧拉28岁时右眼失明、左眼生病，在微弱的视力下坚持写作。尤其是到生命最后的17年里，处于几近失明乃至完全失明的状态，仍在助手和亲人的协助下陆续写出了400多篇论文。（欧拉写的书和论文共计886件，可能是迄今为止最高产的数学家。在他死后的47年中，俄国科学院一直在登载他的论文，从1911年起出版《欧拉全集》，多达70余卷。） 莱昂哈德·欧拉 约瑟夫·拉格朗日 压杆问题是欧拉多年感兴趣的问题，在1757年又出版了《关于柱的承载能力》的论著。他利用经过简化的近似微分方程： 19岁就成了数学教授的拉格朗日是欧拉的忘年交。欧拉很佩服拉格朗日的数学才能，并推荐他为柏林科学院的外籍院士，后又推荐他接替自己在柏林科学院的工作。拉格朗日在1770~1773年的有关柱的形状的论文中，也研究了压杆稳定问题。他在欧拉近似微分方程的基础上，得出了两端铰支的压杆的临界力公式如下： 超过临界截荷的挠度计算是有意义的。对于一根两端绞支、长为l 的细长压杆，压屈后中间挠度f、杆两端相对位移D 与裁荷P 的关系，我们可求出几组数字如下表所示。由此表可见，若载荷超过临界力的2%，长为5米的细长杆就有62.5厘米的最大挠度，同时两端移近了20厘米。所以工程上杆件所受压力值绝不能大于临界压力，否则就会出现灾难性的后果。细长压杆试验形象地表明了这一点。 中间挠度、杆两端相对位移与载荷的关系 3. 托马斯·杨等人对欧拉公式的认识 英国有名的自然哲学教授杨在1807年出版的《自然哲学与机械技术讲义》一书中指出，用欧拉公式确定柱的截面尺寸时，它的适用范围只限于细长杆，而且要对柱的长度与其横截面厚度之比给出某些确定的极限值。因为这个比值不大时，柱子的破坏形式将是材料被压毁而很少是被压曲的。 托马斯·杨 杨研究了具有初曲率的等截面柱受压后的弯曲问题，也讨论了细长悬臂梁的偏心受压问题。此外，还讨论过变截面柱的屈曲问题。他在关于受压柱体的侧向屈曲问题的见解中，指出了实际情况与理想状态的差异：“在承受轴向力的柱子的所有弯曲实验中，可以看到显著的不规则性。无疑，其中有些实验是因为不容易做到作用力恰巧位于轴线上，另有些实验则因为用了不均匀的材料，其纤维方向原先就已弯曲而不是沿直柱的方向所致。”因此，他的研究具有实用意义。 法国工程师和力学教授纳维在有关材料力学的讲义1826年第一版中，推出了欧拉公式，他提出了一些具体规定。例如，当杆长超过厚度20倍时，欧拉公式适用；短杆应按压缩计算，对于木柱和铸铁杆，针对一些具体尺寸建议降低许用应力后按压缩计算。但他对中长压杆实验与欧拉公式不符的原因未做出分析。另外，他研究了偏心拉压问题。 1846年拉马尔 (E．Lamarle) 在“关于木材弯曲的研究报告”中，具体讨论了欧拉公式的适用范围问题，提出了超过此范围的压杆要依靠实验解决的见解。关于纵向弯曲理论与实验不尽相符的原因，他是首先给出满意解释的人。对于两端铰支压杆他导出了如下的临界应力公式： 4. 实验研究与经验公式 18世纪末以来，人们做过不少有关压杆的实验。例如，在巴黎准备建一座教堂，对于如何选择柱子的合理截面曾出现过意见分歧。为了解决这个问题，桥梁专家戈泰特地制造了一台试验机，对立方体和长条形石料进行实验。他1807年死后，由纳维整理在1809～1813年间出版的《桥梁建筑论著》中，提到长条形试样的压缩强度较立方体试样为小。吉拉德在1798年《固体抗力分析》一书中，介绍了一种特制的压杆实验装置。测定弯曲刚度时仍然引用欧拉未改正前的假设，压杆实验结果与欧拉的理论不完全吻合。 杜洛在1820年的“锻铁的抗力理论与实验”一文中，谈到用很细长的铁杆做实验的情况。他仔细地沿着轴线方向施加载荷，得到的结果与欧拉的理论非常符合。他指出，如果端部条件满足理论上的假定，欧拉公式能给出屈曲载荷的合理数值。 随着铁结构的广泛应用，19世纪初叶，柱的屈曲问题的重要性就日益显露出来了。又由于结构中所用的杆件并不像杜洛实验的铁杆那样细长，用欧拉公式会给出过大的临界力数值。所以人们着手实验研究，并通过实验建立一些经验公式。 在1822年英国工程师特里德戈尔德 (T．Tredgold) 所著《实用铸铁强度论》一书中，载有著者的全部实验结果和设计铸铁结构用的许多规范，他断定两端饺支的矩形截面压杆在破坏时的压应力可用下式计算 1832年，瑟里 (H．de Thury) 发表了铁柱的实验结果，认为空心圆柱的强度比实心的好。 1840年，霍奇金森向英国皇家学会提出有关柱的屈曲方面的研究报告。他实验的试样有空心圆杆和实心圆杆，两端是圆头的或平头的。实验表明，长为l、直径为d 的细长受压杆的极限载荷与d4/l 2 成正比，与欧拉公式非常符合，两端平头或圆头而长度为前者的一半的短压杆强度相同；短压杆与理论公式相差很大。将l/d=121~15的圆头实心圆柱的结果加以估算，他取极限载荷与d 3.6]3.6/l 1.7成正比。 19世纪中叶，根据霍奇金森所导出的一些公式被广泛使用。然而，他在实验中大多数杆件端头是平的，端部条件没有明确规定，有时也用圆头的，但接触面却不是球形，以致任何微小的屈曲就会引起偏心。鉴于霞奇金森公式存在缺点和使用不便，后来，乐甫 (G．H．Love，l859年) 和戈登 (L．Gordon) 等提出了一些简化的经验公式。戈登将上述特里德戈尔德的公式加以修改，利用霍奇金森的实验结果，确定出公式的常数a。对于锻铁，戈登得出极限应力如下： 1860年，兰金建议了一个类似于戈登的公式。对于非矩形截面杆他用长细比l/i代替l/h，同时相应地改变了戈登公式分母中数值因子的大小。该公式曾广泛流传于欧美，比如，此期间在美国的设计规范中对锻铁压杆的临界应力的经验公式是 现在材料力学书中介绍的中长杆的直线公式起于何时，是由何人提出来的，众说纷纭。如认为：1882年，伯尔 (W．H．Burr)；1886年（或大约1890年），约翰孙 (T．H．Johnson)；1892年，雅辛斯基；1896年，泰特马耶尔 (L．Von．Tetmajer)。抛物线公式又是何人何时提出的呢？一般认为是约翰孙 (J．B．Johnson) 在1892（或1893）年提出的；也有人说是奥斯坦费尔德 (A．Ostenfeld) 在1998年提出的。 雅辛斯基是俄国彼得堡交通工程学院结构力学和弹性力学教授。他广泛搜集各种实验资料，制出一个实用表格。表中给出了长细比大于20的情况下各种长细比所对应的临界压应力。他还指出，借助“折减”长度可以将两端铰支压杆的临界应力表格用于其他支座形式。关于雅辛斯基对压杆方面的贡献后面还要提及。这位才华横溢的学者由于英年早逝，中断了他盛时的研究，实在可惜。 从19世纪末叶到20世纪初的许多实验都肯定了欧拉公式的正确性，这里只择其具有代表性的介绍一二。 墓尼黑工业学院力学教授包辛格于1871年创立了欧洲大陆最高水平的材料试验室，他在1887年发表了比前人更为可靠的柱的实验结果。由于在试样两端装上圆锥形的端头，保证了端部的自由转动和载荷沿中心线作用。实验表明，细长杆的结果与欧拉公式一致。较短的试样在超过弹性极限的压应力下发生屈曲，欧拉公式不再适用。 各种截面形状压杆的实验数据 苏黎世工业学院教授泰特马耶尔于1879年创立了材料试验室，这个学院试验室不久就成为欧洲颇有名声的试验室了。泰特马耶尔主持了各种截面形状压杆的实验，于1903年发表了实验所得的曲线。对于建筑钢，他推荐长细比大于110时才能使用欧拉公式计算临界应力，并给出了临界应力的直线经验公式。对于戈登—兰金经验公式，他曾指出，要使方程与实验相符，分母中常数因子不能为常数，而必须随长细比增大而减小，这在当时并未引起人们的重视。他通过实验还验证了偏心压杆的理论公式。 压杆稳定的更精确的实验是1910年由卡门 (T．von Karman) 在柏林完成的。他用矩形截面的钢杆（比例极限为240MPa，屈服极限为316MPa）做实验，并利用刀口施加裁荷以保证压杆两端的自由转动，其结果与欧拉公式非常接近，相差不超过1.5%。 5. 非弹性范围屈曲 恩盖塞 (F．Engesser) 是一位对稳定理论做出许多贡献的工程师，青年时期参加过一些铁路桥梁的设计和建造工作。他在1889年和康西德尔 (A．Considere) 在1891年分别提出，欧拉公式亦可用于非弹性范围。具体做法是用变化的切线模量替代不变的弹性模量。 1895年雅辛斯基指出，直杆受压弯曲时，凸边卸载仍用弹性模量。恩盖塞接受这个意见，建立了双模量公式。1910年卡门做了更加完善的分析，独立地得到双模量公式，它与杆的截面形状有关。比如，卡门给出矩形截面杆的结果如下： 双模量公式提出后，长时间以来人们对这样处理超过弹性极限的压杆稳定向题（亦称塑性屈曲）认为总是对的，没有异议。后来，铝合金广泛应用于飞机结构。对这种材料制成的压杆进行了一系列的实验研究，发现其临界载荷值与切线模量公式较为接近。用一些钢、铜和不锈钢等材料的中长杆做实验，也有这种倾向。对于这个曾经困扰人们的“压杆之谜”，1947年湘利 (F．R．Shanley) 作出了比较明确直观的解释。其后一些学者的研究亦进一步肯定了湘利的分析。 三、压杆与工程结构破坏事件 19世纪的最后25年，欧美发生过一系列铁路和公路桥梁以及杆系结构的破坏事件，有不少是由于压杆失稳造成的。其中，首推美国横跨阿什特比拉河上同名桥的破坏。1876年12月29日晚8时许，一列由两辆机车和11节车厢组成的快车在这座桥上通过。漫天大雪使列车只能以16～19公里/小时的特慢速度行驶，当第一辆机车行驶至离对岸不到15米时，司机感到列车在向后拽。于是他给足了汽，猛地开上桥墩，走了45米停下来。回头一看，什么都不见了。由于大桥断裂，后面的列车从21米高坠人河中，列车因锅炉失火而烧毁。158名乘客中有92人遇难。 该桥系双轨路面、跨长37米的全金属桁架式单跨铁路桥，建于1865年。经调查，破坏原因是多方面的。比如，建好后草草验收，施工时出现多处差错，结构设计也不合理，等等。但直接原因是压杆失稳造成的。由现在分析可知，其斜撑杆最大工作压应力为41.2MPa。此杆长细比 按1892年雅辛斯基的经验表格，可查出临界应力为30.9MPa。显然，结构并不安全。实际上压杆属于细长杆，要按欧拉公式计算临界应力： 另一则事故是瑞士明汉斯太因村铁路桥的破坏。1891年5月14日，一度架设在莱菌河支流比尔斯河上的单轨铁桥坠毁。在有12节车厢的旅客列车上，74人蒙难，200人受伤。 明汉斯太因村铁路桥 破坏后的明汉斯太因村铁路桥 该桥位于瑞士通往巴黎的主干线上，离巴塞尔城东4.4公里，距明汉斯太因车站400米。它是由法国著名设计师和建筑师埃菲尔 (A．G．Eiffel) 设计并建造的。这是一座长42米、高6米、宽4.6米的单跨娇，采用埃菲尔式桁架，其结构的立面图和平面图如图所示。投入使用期间因各种灾害多次维修过。事故发生前不久，考虑机车和列车重量增加，提出更新分析该桥的强度。通过实验表明桥梁桁架可承受一般载荷，经核算构件的应力不超过66.3MPa，且载荷也未超出原设计规定的技术条件。为保险起见，还是对该桥做了局部加强。 桥的破损发生在白天。由巴塞尔开过来的列车，由于爬坡车速只有25公里/小时。目击者都说，仅当第一个车头开到桥中央或稍过一点点时，车头连车厢就冲向河里了。上面两图为从对岸看到的破坏情景，及破坏的全景。 瑞士政府责成结构力学教授里特尔 (W．Ritter) 和实验专家泰特马耶尔两人分析事故原因。与此同时，恩盖塞教授对该桥也进行了独自的分析。当载荷位于桥跨中央时桁架中间斜杆的压应力为最大，他们一致的意见是，此杆的安全系数低于1（工作压应力为66.3MPa，由欧拉公式算出临界应力为52MPa）。 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏 (Theodore Cooper) 在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥 (Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳定性破坏，成为上世纪十大工程惨剧之一。加拿大魁北克大桥由三跨钢桁架梁组成，主跨548.6米，建造历经30年，施工期间两次发生垮塌事故：第一次在1907年8月29日压杆失稳，75人丧生；第二次是中跨合拢时起吊设备局部构件断裂，13人丧生。大桥最终于1917年竣工运营。 魁北克桥基本结构示意图 事故发生后，加拿大组成了皇家委员会，调查事故原因，委员包括蒙特利尔的亨利·霍尔盖特，贝尔福德的约翰·克里和多伦多的约翰乔治·盖尔克里。调查发现：垮塌直接原因是弦杆屈曲，主要原因简述如下： · 魁北克大桥坍塌是因为主桥墩锚臂附近的下弦杆设计不合理，发生失稳。 · 杆件采用的容许应力水平太高。 · 严重低估了自重，且未能及时修正错误。 · 魁北克桥梁和铁路公司与凤凰桥梁公司的权责不明。 · 魁北克大桥和铁路公司过于依赖个别有名气和有经验的桥梁工程师，导致了桥梁施工过程中基本上没有监督。 · 凤凰桥梁公司的规划和设计，制造和架设工作都没有问题，钢材的质量也很好。不合理的设计是根本性错误。 · 当时的工程师不了解钢压杆的专业知识，没能力设计如魁北克桥那样的大跨结构。 1922年，在魁北克大桥竣工不久，加拿大的七大工程学院一起出钱将建桥过程中倒塌的残骸全部买下，并决定把这些亲临过事故的这些钢材打造成一枚枚戒指，发给每年从工程系毕业的学生。然而由于当时技术的限制，桥梁残骸的钢材无法被打造戒指。于是，这些学院只好用其它钢材代替。不过为了体现是代表桥坍塌的残骸，戒指被设计成被扭曲的钢条形状，用来纪念这起事故和在事故中被夺去的生命。于是，这一枚枚戒指就成为了后来在工程界闻名的工程师之戒。这枚戒指戴在右手小拇指上，制作图纸的时候咯着手指，时刻提醒着工程师们，要具有高度的责任感去设计安全、牢固和有用的结构。 工程师之戒 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人，成为韩国建筑史上空前的惨案，是上世纪十大工程惨案之首。 三丰百货大楼坍塌 以上各事例说明，在结构设计中缺乏全面的稳定性分析，其后果多么严重，同时这类灾难的发生也促进了人们对稳定性的重视，并进行深入研究构件或结构的稳定问题。 来源：材料力学之教与学微信公众号，本文摘自老亮主编的《材料力学史漫话》-从胡克定律的优先权讲起，部分图片来源于网络。 |
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