陀螺运动之动力学原理

2016-5-10 15:17| 发布者: VibInfo| 查看: 13094| 评论: 42|原作者: 刘武|来自: 声振论坛

摘要: 陀螺运动之动力学原理作者：刘武河北省、邢台市、东庞矿054201（2006.10.1）(我想,我来到这里,把我的问题贴出来,一定会得到各位物理学者的指导。我所希望的是：知道自己的问题是否正确，或者是否具有学术价值。中国 ...

1.陀螺运动的基本原理

1.1转子圆盘运过程中诸质点的翻转加速度

图1

1.陀螺运动的基本原理
1.1转子圆盘运过程中诸质点的翻转加速度
高速旋转的转子圆盘(以下简称圆盘)，自转角速度为w，自转角用q表示。从某一时刻圆盘受到了外力（如地球引力）的持续作用，圆盘开始下降，即绕定点O旋转（见图1），同时又相对于通过圆盘质心的一条水平轴线开始翻转，我们把圆盘以水平轴线翻转时，圆盘上诸质点绕水平轴的相对旋转称为翻转运动。为方便我们在以后分析中，取圆盘上半径为r的一个圆环，设圆盘的质量m全部集中在这个圆环上，并且设外力的作用力臂为R，外力为F（不考虑地球引力和气动影响）。
由于圆环的自转，外力对系统的作用所产生的相对于O点的翻转角加速度eo，并不按照匀加速模式运动,不能直接用于陀螺转子质心相对于定点O旋转的线翻转速度计算。随着运动的开始，圆环以水平翻转轴为轴以同样翻转角加速度ef做相对旋转，ef将导致圆环上诸质点的翻转线向加速度以其特有的规律变化。质点的翻转加速度随圆盘上诸质点的空间位置不同而不同，因位置改变而变化。
1.1.1无自转圆环相对于定点的下降旋转
外力持续作用，圆环下降，圆环相对于水平翻转轴翻转，质心绕O点旋转,角加速度eo不断增加；在圆环上诸质点相对于水平轴旋转,其翻转角加速度ef 和质心相对O点的翻转角加速度是相同的。
ef =eo

至此，我们把圆环以水平轴翻转，而在圆环上产生的翻转线向加速度称为翻转加速度；把这个水平轴称为水平翻转轴；把由翻转加速度而产生的圆环上质点的翻转线向速度称为翻转速度。我们把圆环上位于坐标系空间最高点和最低点，或者说距水平翻转轴半径为r的点，视为两个极点。这两个点在翻转时产生的翻转加速度及翻转速度，在分析中视其为空间单质点运动，因此二者在空间坐标系中方向相反。在以下分析中涉及这两个特殊点时,如不加说明均指上极点。
极点翻转加速度为

圆环上任意点的翻转加速度
（q为自转角）
……………………………………….1.1
1.1.2高速自转圆环相对于定点的下降与旋转过程中圆环上各质点的翻转加速度及其变化
无论圆环在空间的位置怎样，它总是要沿着水平翻转轴做翻转运动如图1所示。圆环翻转时，在外力作用下，圆环上诸质点产生相应的翻转加速度和翻转速度。A点的翻转加速度随着空间位置的变化，按正弦规律不断变化着（见图2黄色部分）。我们在圆环上分别取A、B、C、D四点，其在圆环上排列位置分别相差p/4，根据式1.1做出其曲线进行比较（见图2）。在外力开始作用时，aa为0，ac最大，ab、ad相同；wt=p/2时，aa最大，ac为0、ab、ad大小相同方向相反。通过这4个点的翻转加速度比较，我们可以知道在圆环上每一个质点，在不同位置具有不同的翻转加速度；质点位置改变，其翻转加速度也随着改变。圆环上不同位置的点，在同一时刻具有不同的翻转加速度，而在同一时间内其翻转加速度变化量也不相同。
1.2圆环上诸质点的相对运动
1.2.1建立简化运动模型
首先建立定坐标系O-XYZ，和动坐标系O'-X'Y'Z'，圆环的质心位于O'点(见图3)。为方便分析，我们将动坐标系O'-X'Y'Z'平移到固定坐标系O-XYZ并以之重合，X、Y、Z轴分别对应X'、Y'、Z'三轴；根据相对运动原理，原模型中的定点，即原半轴的一端，将成为动点。令F作用于半轴轴端，且在过轴线的竖直平面上并恒与半轴垂直（如图4）。运动中动坐标系，X'轴始终与半轴指向相同，Y'轴始终位于定系O-XY平面内，水平翻转轴恒与Y'轴重合。
1.2.2圆环上诸质点的空间运动
设高速自转的圆环位于坐标系O-YZ平面，外力作用后，翻转轴线以上部分的任何一个质点，呈X轴正方向远离O-YZ平面方向运动，在自转1/2周期内都有可能转到水平面，继而将越过水平面O-XY。在这有限时间内，质点随着圆环自转越过水平面O-XY以后，由于贯性的存在，从质点在空间的位移角度看，它将继续向远离O-YZ平面方向运动。同时该质点越过平面O-XY后，随着圆环的翻转,外力的作用与贯性运动方向相反（朝向O-YZ平面），质点进入减速运动状态，直到翻转速度减小到0，乃至于反向翻转速度增加，有远离转为朝向O-YZ平面即X轴负方向运动；继续运动又将越过O-YZ平面，越过O-YZ平面以后又开始远离O-YZ平面运动并反向加速；随着自转将再度越过水平面，这时质点再度产生正向翻转加速度，质点反向翻转速度减小，直到反向翻转速度减小到0，又进入正向翻转速度增加阶段。
圆环上的每一个质点，在受外力作用的时刻起，无论在什么位置都要按照上述规律运动。相对于水平翻转轴所在的铅垂面，所有质点将一直在这个铅锤面两侧摆动，摆动的幅度和圆环自转速度及受力大小有关。以下按照一般情况下的陀螺模型，摆幅小于π/2来分析。
1.2.3圆环上质点翻转速度变化的统一性和特殊性
在分析自转圆环受外力作用产生翻转时，我们必须建立起这样一个空间概念：水平翻转轴始终是水平的，轴上部分诸质点的翻转加速度方向，和轴下部分诸质点的翻转加速度方向，从空间上看总是相反的。撇开力偶，只从单独质点受力与运动角度分析。运动中各质点获得了相应的翻转速度增量，其翻转速度增量的方向以水平轴线为界上下各自相反。
从质点在空间的位移看，以水平翻转轴为界，上部质点获得远离其所在初始平面方向（O-X轴正方向）的翻转速度，下部质点获得相反的（O-X轴负方向）翻转速度。上部质点越过水平面以下时，仍然远离初始平面方向运动，同时获得朝向运动初始平面（O-X轴负方向）的翻转加速度，质点开始减速，一直到翻转速度为0，之后继续重复加速和减速过程，完成自转一周，回到原位翻转速度再度为0；原下部质点越过水平面以上时，同样保持原有朝向运动，获得与翻转速度方向相反的翻转加速度，质点开始减速，一直到翻转速度为0，之后继续重复加速和减速过程，完成自转一周，回到原位翻转速度再度为0。
圆环位于初始水平翻转轴上的质点，在圆环一个自转周期内，从加速到减速，回到原位，翻转速度变为0；除此之外，其余诸点翻转速度变化，均要经过两度为0的过程。
1.3圆环上质点翻转速度的变化
1.3.1圆环上质点的翻转产生空间瞬时旋转轴
在圆环上做出如下标志，取A点为起始点，并编号为1，为方便分析将盘缘等分为36份，每等份为10o,依次编号为1、2、3、.......35、36。（见如图5）
匀速旋转的圆环，从某一时刻开始受到外力F的作用，我们看18位上的a点，加速到19位（水平翻转轴），之后开始减速，到20位翻转速度减速小到0；17位上的b点，加速到19位，之后又减速，到21位翻转速度减速小到0；16位上的c点，加速到19位，之后又减速，到22位翻转速度减速小到0。由此可以看到，圆环从开始翻转，翻转轴CA上的诸点翻转速度为0；继而20－2线上诸点翻转速度为0；再者21－3线上诸点翻转速度为0、22－4线上诸点翻转速度为0。
至此可见，在圆环上有着一条直线，直线上诸质点翻转速度均为0。该线的位置一直在变化着，它把圆环一分为二，并以此线为轴产生新的旋转运动，也可以说是空间翻转。这是高速旋转的圆环，在外力作用下所产生的复合运动的结果，即新的旋转的轴线，也就是研究刚体定点运动中所指的“瞬时旋转轴”，以下简称瞬轴。

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1.3.2瞬轴空间位置的变化
见图6，18位上质点运动到20位，翻转速度变为0，转角为20o,此时瞬轴从19－1转到20－2位，转角为10o；
17位上质点运动到21位，翻转速度变为0，转角为40o,此时瞬轴从19－1转到21－3位，转角为20o；
16位上质点运动到22位，翻转速度变为0，转角为60o,此时瞬轴从19－1转到22－4位，转角为30o；
同理，2位上质点运动到36位，翻转速度变为0，转角为340o,此时瞬轴从19－1转到36－18位，转角为170o；
1位上质点经过加速和减速，运动一周时翻转速度变为0，转角为360o回到原位,此时瞬轴从19－1转到1－19位，转角为180o，与19－1（也是水平翻转轴）重合。
通过上述分析我们可以归纳如下结论：瞬轴的位置总是落在翻转速度为0的一条直线上，从这条线在圆环上的位置变化看，它随着质点的运动产生了相应的角位移，我们把瞬轴在圆环上的角位移称为空间回转，其回转角速度是自转角速度的1/2。
1.3.3瞬轴的空间回转
圆环上质点的瞬时翻转加速度的分布，是以翻转轴上下对称分布的，在翻转轴线上所有点的翻转加速度为0；圆环上的瞬时翻转速度的分布，则与之不同，它不以翻转轴为对称，而是以瞬轴对称分布，瞬轴上的所有质点的翻转速度为0。
见图6，A点转到N点经过一个加速过程，从N点经过同样时间转到A'，又经过一个减速过程。从图中曲线包围的黄色面积知，二者面积相等。在t轴上是正向翻转加速度作用下的翻转速度的增量；t轴下是反向翻转加速度作用下的翻转速度负增量，至A'时加速和减速时间相同，两黄色面积相同，翻转速度正增量和负增量相同，因此翻转速度变为0。此时原NP上的瞬轴将落到OA'上，用ψ表示瞬轴转角，w s表示瞬轴瞬时角速度。则:
ψ=∠NOA'，∠AOA'=wt=2∠NOA'。所以
....…………………………………………..1.2
同样我们可从B点转到B'点的翻转速度的变化，得到同样的结论。
从这个式子可以看出瞬轴在圆环平面内，相对于圆环按照特定的规律旋转，并且其旋转角速度恰为圆环自转角速度的1/2，并做匀速圆周运动；瞬轴旋转一周，圆环旋转两周。
设空间瞬时旋转轴在圆环平面内的角速度为ws，则：

…………………………………………………1.3
1.4运动过程中的能量转换和周期性变化
在这里我们把陀螺转子的自转所具有的动能，视为系统固有内能，要和因外力作用所产生的能量变化加以区分。下面针对外力作用下的能量变化进行分析。
我们认识了瞬轴的形成机制和运动规律,瞬轴的旋转所形成的角动量,随外力作用，在下降过程中不断增大，这就是势能向动能的转化过程；这个瞬轴角动量作用于质心，通过陀螺半轴和定点O之间形成一个转矩，产生相对于定点的空间旋转运动。由于瞬轴在圆环上的相对旋转，瞬轴从水平转为倾斜时，瞬轴角动量竖直（Z'轴或Z轴）方向的分量将促使质心做水平偏转；瞬轴角动量水平（水平翻转轴或Y'轴）方向的分量促使质心下降和上升运动。当瞬轴相对于圆环呈竖直状态时，瞬轴角动量的水平分量为0，此时质心不再下降而达到最低点，动能不再增加。之后，瞬轴在圆环平面上较以前呈反向倾斜，随着瞬轴角动量方向改变，瞬轴角动量的水平分量方向以前述相反，又转入上升运动并继续偏转，动能开始向势能转化，直到圆环质心回升到原来高度，瞬轴相对于圆环呈水平状态，圆环上所有质点的翻转速度为0，瞬轴上角动量消失，动能消失，停止上升和偏转。此时，圆环完成一个自转周期，瞬轴回转完成半个周期。
我们把圆环质心的下降和上升，称为章动；把质心的水平偏移称为进动。章动和进动是同一个运动的两个分量，二者同时产生，同时消失，具有同一个周期。在以下分析中，把二者的周期，统称为章动周期。圆环完成一个自转周期，同时完成一个章动周期；瞬轴完成一个回转周期，需要2个自转周期，完成2个章动周期。
1.5瞬轴与空间回转角动量
前面针对瞬轴在圆环上的回转进行了详细分析，通过对瞬轴回转的分析，我们就不难理解其在空间坐标系下的运动形式，它即有自身旋转又有空间回转。瞬轴的旋转必然产生角动量，这个角动量总是指向瞬轴的一端。在空间坐标系下看陀螺的整体运动，瞬轴角动量的方向随着瞬轴的位置改变而改变。角动量的作用体现在过半轴且垂直于瞬轴的平面上，它迫使受力点（陀螺质心）在这个平面上旋转。瞬轴角动量在圆环上做相对回转，它同时又要带动陀螺半轴相对于系统定点O做下降旋转和平移旋转，继而又上升旋转和平移旋转。因此，在以下分析中我们把这个角动量称为空间回转角动量，简称回转角动量。回转角动量的空间状态取决于瞬轴的状态（参见图7）。
上述分析是以忽略厚度的平面圆环为模型分析的，我们把这个圆环平面称为自转中平面。如果考虑圆环厚度，则以过圆环质心的平面为自转中平面；如果分析对象为球体或其它轴对称体，则取过质心且与自转轴垂直的平面为自转中平面。空间瞬轴始终位于自转中平面上，瞬轴是整个系统绝对运动的瞬时体现。
总之，以简化陀螺模型为例，陀螺由圆盘和半轴组成。半轴的一端点为定点O，陀螺转子圆盘高速且匀速自转；外力作用，使陀螺产生绕O点的旋转；圆盘产生相对翻转；相对翻转与自转合运动产生瞬轴的空间翻转；空间瞬时翻转，同时瞬轴在圆环上相对旋转，形成回转角动量。我们把回转角动量对于质心的作用，并推动质心产生新的运动的现象称为陀螺效应。回转角动量对圆环质心的推动作用称为陀螺力。陀螺力推动陀螺质心通过半轴R完成章动和进动的整个过程。
1.6自转角、章动角和进动角空间关系的确定
水平翻转轴是圆环受外力作用后直接产生的，它始终位于自转中平面和水平面交线上；空间瞬时回转轴是因水平翻转导致圆环上质点翻转速度的不断变化而形成的，它同样始终位于自转中平面上，瞬轴与水平翻转轴始终是共面的。又自转角起始边是从水平翻转轴开始的，水平翻转轴始终位于水平面即O-XY平面上，所以陀螺转子圆环自转角的始边必在水平翻转轴上，亦即位于O-XY平面上，所以水平翻转轴是陀螺转子圆环的自转角的始边。进动角是陀螺水平角位移形成的，水平翻转轴在O-XY水平面上的角位移就是进动角的终边（见图7所示）。
章动角就是陀螺半轴离开水平面的角度。
整个陀螺系统运动情况见如下三维图解（见图7），该图为圆环自转wt=p时的情景。A点自OY轴开始运动，A'点落在水平翻转轴另一端，也在O-XY平面上，此时瞬轴与水平翻转轴正交。进动角在O-XY平面上，即水平翻转轴离开OY轴的夹角；章动角即半轴相对O-XY平面的下降角，或旋转中平面离开OZ轴的夹角。（见下篇）

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$图6\\图7$