| 在一张光滑曲面上给了一个坐标架场，即每一点给了不共线的两个向量e1 和e2，还给了一个微向量 显然因为ei·ej=ej·ei ，所以gij =gji ，即gij 对于下标是对称的。它也称为度量张量或黎曼度量，有的情况下也称为度规张量。 在曲面上每一点给了上式，我们就能够计算曲面上任何两点之间的弧长进而也能够计算曲面上的其他度量性质，例如相交两条线的交角、闭曲线所围的面积等。实际上，关键是给了作为坐标参量x1、x2 函数的gij ，无需知道坐标架，e1 和e2。也就是说，我们只要知道了gij，就能够知道曲面内的一切度量性质。把对于二维曲面的这个思想推广到n 维流形上，就是黎曼几何。下面就将上式中的上下标的变化范围扩大到n。 图1的四幅图，是荷兰艺术家摩里茨·科奈里斯·埃舍尔画的《圆的极限》。每一幅都画在一个半径为单位的圆内。画面从中心一直到边缘，逐渐变小，以至无限小。这几幅图中都是充满对称的图案。这种对称就不再是通过平移转动和镜面反射能够使图形重合，而需要引进适当的变换使图形重合。其中的奥妙就是采用的度量为 图1 圆的极限 这样的二维黎曼空间，它的参数定义域是在一个单位圆内，这个圆称为庞加莱圆盘，是由法国数学家庞加莱首先引进的。有了度量就很容易求出空间的测地线（它相当于欧氏平面上的直线）。把测地线的参数变化画在圆盘上，然后根据测地线的轨迹去构图。第3个圆盘上的首尾相连的鱼就是沿着测地线画的。 德国数学家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) 是一位有多方面贡献的数学家。在哥廷根大学毕业后师从高斯攻读博士学位，于1851年以有关单复变函数的论文获博士学位。1854年，黎曼在哥廷根大学初次登台为了提升讲师，作了题为《论作为几何基础的假设》(Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen) 的演讲，开创了黎曼几何的历史。在这篇论文中，黎曼并没有用多少公式，其中列出的唯一重要的公式就是 图2 黎曼像 黎曼除在这篇论文开辟了微分几何的新领域之外，在数论、复变函数论、微分方程、数学物理等方面，都有非常重要的贡献。 正如平面可以看作曲面的特殊情形，当黎曼几何的度量张量的数值gii=1，gij=0（当i≠j 时)，黎曼几何就是通常的欧氏空间，亦即欧氏几何。 最早黎曼提出黎曼流形时 顺便提一句，当二次式 在牛顿的《原理》出版后的101年，也是法国大革命的前一年，即1788年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书，这就是J.L.拉格朗日 (Lagrange) 著的《分析力学》, 这本书的出版标志了力学发展进入一个新阶段。 标志拉格朗日的新阶段，是他用统一的方法处理带约束的力学系统。所谓分析力学，实际上可以看作约束体系的力学。 他首先引进可以完全描述力学系统状态的有限个参数，采用拉格朗日的符号，记为qj (j=1,2,···,n) 称为广义坐标，后人也称为拉格朗日坐标。其次，他在系统运动时计算系统的动能T，用 我们可以看到，分析力学中引进的广义坐标实际上是最早高维空间的概念。后来黎曼引进了黎曼几何、黎曼流形，他的度量二次型实际上就相当于拉格朗日引进的动能的表达式。这才对力学上的广义坐标给了一个比较深刻的解释，所以也可以说，分析力学是流形上的力学。拉格朗日使力学摆脱了古典欧氏几何的束缚，但并没有使它永远脱离几何，而是使力学与更高层次的几何——流形几何或现代微分几何联系在一起。 总结以上的讨论，当给了一组广义坐标，或者用几何语言说，给了一个n 维流形，在流形上定义了一个正定二次型 来源：武际可科学网博客，作者：武际可。 |
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