| 结构的振动分析将涉及到模态分析(modal analysis)、瞬态动力学分析(transient dynamics analysis)、简谐响应分析(harmonic response analysis)、随机谱分析(spectrum analysis) 等方面，其中结构的模态分析（固有频率与振型）将是所有振动分析的基础，下面将就结构的模态分析进行阐述。 结构振动分析的基本方程 描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但增加了惯性力项和阻尼力项，且所有的变量都将随时间而变化。 结构振动的三大变量 · 位移：u(ξ,t)，v(ξ,t) · 应变：εx(ξ,t)，εy(ξ,t)，γxy(ξ,t) · 应力：σx(ξ,t)，σy(ξ,t)，τ(ξ,t) 是坐标位置ξ(x,y,z) 和时间t 的函数。 结构振动的三大类方程及边界/初始条件 1. 平衡方程（考虑惯性力和阻尼力） · 位移边界条件BC(u) 结构振动的有限元分析列式 用于动力学问题分析的单元构造与静力问题相同，不同之处是所有基于节点的基本力学变量也都是时间的函数。 单元的节点位移列阵为 基于上面的几何方程和物理方程以及上式，将相关的物理量（应变和应力）表达为节点位移的关系，有 1. 静力学情形 (static case) 由于与时间无关，则 2. 无阻尼情形 (undamped system) 此时v=0，则方程 3. 无阻尼自由振动情形 (free vibration of undamped system) 则v=0，Pt=0，方程 常用单元的质量矩阵 杆单元的质量矩阵 质量矩阵分为两种，即一致质量矩阵和集中质量矩阵。 1. 一致质量矩阵 对于二节点杆单元，在局部坐标内有节点位移列阵和形状函数矩阵 2. 集中质量矩阵 将该二节点杆单元的质量直接对半平分，集中到二个节点上，就可以得到集中质量矩阵 (lumped mass matrix)为 平面三节点三角形单元的质量矩阵 1. 一致质量矩阵 来源：节选自《有限元分析及应用》，作者：曾攀 清华大学。 |
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