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有限元(FEM)、有限差分(FDM)和有限体积(FVM)的优势和劣势分析

2022-1-28 14:55| 发布者: weixin| 查看: 271| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 偏微分方程(组)可以把它的算子提出来,构成算子代数方程(组),然后根据算子代数方程(组)的特征值来区分是椭圆的、双曲的、还是抛物型的。
偏微分方程的类型

偏微分方程(组)可以把它的算子提出来,构成算子代数方程(组),然后根据算子代数方程(组)的特征值来区分是椭圆的、双曲的、还是抛物型的。具体可以翻看各类数学物理方程或者偏微分方程的教材,一般前两章必讲。

工程中碰到的椭圆方程(组)有:

  · 弹性力学中的各种方程组,几乎都是椭圆的;

  · 热传导方程,如果不含时间项(定常)。

工程中碰到的纯双曲方程不多,各种波动方程一般都是双曲的。比如声波传导,各类波动方程,只能在教科书的例子中见到。工程中的纯抛物问题也不多,各种发展类型的物理问题大多数是抛物型的。比如非定常热传导(纯抛物型的)。

下面我们要说一些其他的方程了,多类型混合的。上面已经说了,工程界碰到的纯粹抛物和纯粹双曲的都不多,而且单类型的方程都不是被人搞出解析解了,就是用数值方法解决的很好了。

抛物型最容易和其他两种结合搞出难以求解的方程,比如:

  · 弱可压缩流体(比如亚声速燃烧、风场等),椭圆-抛物方程因为抛去时间项后,体现为椭圆方程的特征,这种一般好求解;

  · 各类液体流动方程,同上。

双曲-抛物型方程比较厉害,这个我们专门来说一说:

  · 空气动力学方程组,波澜壮阔如雷贯耳,典型的双曲-抛物型。就算抛去时间项,还是双曲型的。双曲已经很难搞,再叠加一个抛物属性,有多难随便你想。

  · 电磁学Maxwell方程组,特征速度就是光速,CFL条件你要怎么提?

双曲型方程是可以搞出间断的,在空气动力学中就是激波,所以含有双曲属性的工业问题在学术界都是老大难。

三类方法的优缺点

1. 有限元 (Finite Element Method)

椭圆方程适合用有限元,当然椭圆方程用什么都可以,只不过有限元方法之于椭圆方程就好比青椒对瘦肉,绝配。那些求解结构强度,结构动响应的都用有限元。前面说了,这些问题大多都是椭圆型方程,就算是带了非定常时间项,也可以用各类方法把时间项折叠 (folding) 到空间项中,用有限元方法求解。椭圆方程中没有间断,怎么折腾都可以。你们用到的ansys、abaqus核心求解器,都是典型的有限元方法。

2. 有限差分 (Finite Difference Method)

有限差分百搭,解什么都可以,只不过有限差分大多要求结构网格,一般学术研究中用得多。

有限差分还有个不大不小的优势,就是能利用结构网格的拓扑优势轻松扩大模板,构造出高精度格式。

电磁学领域有些软件会用FDTD(时域有限差分)方法,个人见过的为数不多的在工业软件领域采用差分的例子。

3. 有限体积法 (Finite Volume Method)

有限体积法就比较强大了,除了高精度构造略微麻烦,几乎通吃有限差分所有领域,双曲性、抛物型、椭圆形都可以。当然,对于椭圆形方程不如有限元方法更搭配。看看这些如雷贯耳的软件, fluent、star-cd、cfx、esi-fastran、esi-ace、openfoam、 su2等等全是有限体积法,知道有限体积法的强大了吧。

三种方法中有限元和有限体积对计算域(几何区域)复杂度适应性好,而有限差分就是差很多了。因此,FEM 和FVM 都是工程软件的首选,现在甚至学术界几乎都用FEM 和FVM了,而FDM 只是学生入门的时候用用。

原文链接:
https://blog.csdn.net/weixin_42437828/article/details/80785602

来源:CSDN 热流体仿真的博客

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