| 调和分析： 调和分析前身为Fourier分析，它在自然科学、社会科学和人文科学等领域都有广泛的应用背景，特别是对近代数学、物理、工程技术、电子信息产业都产生了深远的影响。 调和分析的起源可追溯到Euler、Fourier等著名数学家的研究，在经历了200多年的发展，已成为数学的核心学科之一。调和分析主要经典理论有：函数与分布的Fourier变换理论、变换反演公式及理论、乘子与C-Z奇异积分算子理论、Hardy-Littlewood极大函数理论、插值理论、Hardy空间原子分解、分子分解理论、BMO空间、Besov空间等各类函数空间理论、振荡积分理论、Lipschitz边值问题等内容。调和分析的方法与思想渗透到数学的众多领域，数学中很多重要思想与理论的形成，都与它的发展过程密切相关。特别是它在偏微分方程、代数数论中的应用等尤为如此。 调和分析研究包括：经典调和分析、抽象调和分析、流形上调和分析、其它结构上调和分析(如局部域上调和分析等)、小波分析理论、Walsh分析理论等领域。 特别值得一提的是小波分析理论。一方面，小波分析被认为是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶;另一方面它被认为是迅速发展具有广泛应用的一种数学工具。由于小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频率的局域变换，而Fourier变换则是一个时间和频率全域变换，因而小波变换能更有效的从信号中提取信息，对函数或信号进行多尺度细化分析，克服了Fourier变换不能解决的许多困难问题，提高了应用的效果，因此小波变化被誉为“ 数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 目前小波分析已被成功地应用于包括数学领域的许多学科;信号分析、图象处理;量子力学、理论物理;军事电子对抗;计算机分类与识别;图象处理方面的图象压缩、音乐与语言的人工合成;医学成像与诊断、CT、核磁共振成像;地震勘探数据处理等。 栅栏效应信号处理和分析、傅里叶变换 将连续的频谱离散化后，只能获得采样点的频率成分，其余频率成分一概舍去，这犹如透过栅栏观赏风景，只能看到一部分，就可能使一部分有用的频率成分漏掉，而丢调部分有用信息，此现象称为栅栏效应。 减小栅栏效应可用提高采样间隔Df也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM)，亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。 对一函数实行采样，即是抽取采样点上的对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象均被栅栏挡住而视为零，这种现象称为栅栏效应。不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是当时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。 减小栅栏效应可用提高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM)，亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。 随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。对功率谱密度的估计又称功率谱估计。平稳随机信号x(t)的(自)功率谱Sxx(ω)定义为 (1) 式中rxx(τ)为平稳随机信号的自相关函数。 对于离散情况，功率谱表示为 (2) 式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。 当利用随机信号的 N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为 (3) 可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。 计算信号功率谱的方法可以分为两类：一为线性估计方法，有自相关估计、自协方差法及周期图法等。另一类为非线性估计方法，有最大似然法、最大熵法等。线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。 功率谱 周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现"噪声背景"和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。在很多实际问题中(尤其是对非线性电路的研究)常常只给出观测到的离散的时间序列X1, X2, X3,...Xn,那么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子(零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子)的不同状态的信息呢?我们可以运用数学上已经严格证明的结论，即拟合。我们将N个采样值加上周期条件Xn+i=Xi，则自关联函数(即离散卷积)为 ;然后对Cj完成离散傅氏变换，计算傅氏系数。 Pk说明第k个频率分量对Xi的贡献，这就是功率谱的定义。当采用快速傅氏变换算法后，可直接由Xi作快速傅氏变换，得到系数;然后计算，由许多组{Xi}得一批{Pk'}，求平均后即趋近前面定义的功率谱Pk。从功率谱上，四种吸引子是容易区分的，如图12 (a)，(b)对应的是周期函数，功率谱是分离的离散谱 (c)对应的是准周期函数，各频率中间的间隔分布不像(b)那样有规律。 (d)图是混沌的功率谱，表现为"噪声背景"及宽锋。考虑到实际计算中，数据只能取有限个，谱也总以有限分辨度表示出来，从物理实验和数值计算的角度看，一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的，这也正是功率谱研究的主要弊端。 功率谱是个什么概念?它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。 功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。 功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域;密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。 可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度;二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度;三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了;对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换(FFT)估计谱密度的依据;第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math,55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。 另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法，由于字数限制，功率谱密度的单位是G的平方/频率。就是就是函数幅值的均方根值与频率之比。是对随机振动进行分析的重要参数。功率谱密度的国际单位是什么?如果是加速度功率谱密度，加速度的单位是m/s^2,那么，加速度功率谱密度的单位就是(m/s^2)^2/Hz,而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是m^2/s^3.同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,如果是弯矩功率谱密度，单位就是(N*m)^2*s位移功率谱——m^2*s速度功率谱——m^2/s加速度功率谱——m^2/s^3 幅值谱： 幅值谱分析是把复杂的混合频率的振动信号分解成一系列单一频率的正弦波幅值的方法。 幅值谱图中横坐标为频率，纵坐标为幅值。 幅值谱分析可以得到振动信号的和频率下的幅值大小，是离散的。 在北理版信号与系统中，信号可以分成能量信号与功率信号，非周期能量信号具有能量谱密度，是傅立叶变换的平方，功率信号具有功率谱密度，其与自相关函数是一对傅立叶变换对，等于傅立叶变换的平方/区间长度。不能混淆。能量信号是没有功率谱的。 胡广书老师的书上找到这么一段话，“随机信号在时间上是无限的，在样本上也是无穷多，因此随机信号的能量是无限的，它应是功率信号。功率信号不满足付里叶变换的绝对可积的条件，因此其付里叶变换是不存在的。如确定性的正弦函数的付里叶变换是不存在，只有引入了冲激函数才求得其付里叶变换。因此，对随机信号的频谱分析，不再简单的是频谱，而是功率谱。” 周期信号是功率信号，但是周期信号可能是确定性信号，也可能是随机信号，但是周期信号是存在功率谱密度的。对于持续时间无限长的随机信号来说，也是存在功率谱密度的。 一般来讲，对于随机信号，由于持续期时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅立叶变换，所以我们只能研究其功率谱，因为样本函数的功率毕竟是有限哦。 对于确定性信号而言，里面存在能量信号，是没有功率谱密度的，也存在功率信号，是有功率谱密度的。所以信号的频谱与是否是确定性信号没有必然联系。 频谱是信号的傅立叶变换。它描述了信号在各个频率上的分布大小。频谱的平方(当能量有限，平均功率为0时称为能量谱)描述了信号能量在各个频率上的分布大小。 功率谱是针对随机信号而言，是随机信号的自相关函数的离散傅立叶变换(注意自相关函数是确定性序列，离散信号本身是不存在离散傅立叶变换的)。它描述了随机信号的功率在各个频率上的分布大小，而不是能量分布大小。 计算过程中，都是通过样本数据的快速傅立叶变换来计算。但不同的是，信号的频谱是复数，包含幅频响应和相频响应，重复计算时的结果基本相同。而随机信号的功率谱也可以对数据进行FFT，但必须计算模值的平方，因为功率谱是实数。而且换一组样本后，计算的结果略有不同，因为随机信号的样本取值不同。要得到真实的功率谱必须进行多次平均，次数越多越好。 功率谱可以从两方面来定义，一个是自相关函数的傅立叶变换，另一个是时域信号傅氏变换模平方然后除以时间长度。第一种定义就是常说的维纳辛-钦定理，而第二种其实从能量谱密度来的。根据parseval定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，即单位频率范围内包含的信号能量。自然，能量跟功率有一个时间平均的关系，所以，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。(这种说法不准确) 功率谱密度： 功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。倒谱： 倒谱最初始的数学定义是对数功率谱的傅氏变换、再取模的平方。 因此也称为功率倒谱或功率时谱，因此是时间域的。复倒谱： 一个函数的傅里叶变换的对数的傅里叶反变换。对褶积信号的线性分离作用，在实际信号处理中很有用处，例如可应用于通信、建筑声学、地震分析、地质勘探和语音处理等领域。尤其在语音处理方面，应用复倒谱算法可制成同态预测声码器系统，用于高度保密的通信。 在离散信号x(n)情况下，用z变换表示复倒谱，可以写作 复倒谱可以利用同态系统中一种特定的特征系统来求得，如图所示。为了区别于用一般方法所求得的频谱(spectrum)，将spectrum这一词前半部 (spec)字母顺序颠倒即成cepstrum，根据词形定名为倒谱。又因频谱一般为复数谱，故称为复倒谱。为了说明复倒谱的性质,假设已知两信号x1(n)和x2(n)相褶积而得到的时间函数x(n)，对它们分别求其离散傅里叶变换，写作 X(ω)=DFT【x(n)】 X1(ω)=DFT【x1(n)】 X2(ω)=DFT【x2(n)】 按上述定义，可得到如下关系式 =IDFT{log【X(ω)】｝ =IDFT{log【X1(ω)】｝+IDFT{log【X2(ω)】｝ 由此可见,通过复倒谱的运算可将x1(n)和x2(n)的褶积关系变换为相加关系，再采用一般线性系统对它们进行滤波处理。 功率谱密度的幅植的具体意义是什么?? 用各种方法得到的功率谱，都是相对值，往往用分贝来表示。则是否能知道它的绝对值，这是可能的，但需要进行校正，要设定0分贝对应的数值。 我们测量的无非是加速度、速度和位移的功率谱，则它们0分贝的参考值分别是： a0=1um/s^2 v0=1nm/s d0=1pm 功率谱密度 功率谱密度，单位为：unit^2/Hz代表单位频率上信号的能量，所以是密度谱，幅值代表频段内的有效值平方，计算时的步骤为： 1 对每一分段数据进行FFT变换，并求的幅值谱 2 对幅值谱进行平方 3 将双边谱转化为单边谱 4除以频率分辨率 举个例子： 幅值为1，频率为16Hz的正弦信号，使用1024Hz采样，2048点进行功率谱密度计算，频率分辨率为1024/2048=0.5Hz，求出的功率谱单边谱在第32根谱线处的值为1，解释为：信号FFT变换后得到的双边谱，幅值分别为0.5，平方后为0.25，转化为单边乘2为0.5，再除以频率分辨率为1。将1乘以0.5，正好为该信号有效值0.707的平方。 为什么要转化为单边谱，而且最后除0.5是什么意思? 答：因为实数信号的双边幅值谱都是对称的，因此用单边谱就够了，这时候把负频率成分附加到相应的正频率成分，也就是在双边谱的基础上乘以2. 计算具体信号时，到底应该以什么准则决定该选用什么方法啊? 1)求信号功率谱时候用下面的不同方法，功率谱密度的幅值大小相差很大! matlab提供的功率谱求法肯定是没有错的，关键在于各个参数的选取，以及对每种求解方法的了解! 平均周期图法和其他方法求出的结果，参数条件取得一样的话，可以得到完全相同的结果。 2)计算具体信号时，到底应该以什么准则决定该选用什么方法啊? 直接采用平均周期图法求功率谱时，功率谱形状呈锯齿形，谱峰点的准确位置不大好定。于是可以采用其他的方法对谱进行平滑操作，平滑化，仅仅是为了使图形光滑，并不会使得波的本质受到歪曲和畸变。反过来说，由于不纯的东西去掉了，本质的东西必然会更加显示出来!平滑化的程度可以根据所分析的信号，选择合理的窗函数和带宽!可以采用逐步观察的方法进行考察! 3)功率谱密度的幅植的具体意义是什么?? 对于振动信号(我研究的范畴)，对于功率谱的单位，如数据为加速度时，为米(平方)/秒(三次方);若数据为速度或者位移时，他的单位为米(平方) /秒，米(平方)*秒;他和物理学中的功率(单位时间内所作的功，单位为瓦特)概念是不一样的。因此在地震波的情况下，所谓功率谱，不能用功率这一物理量来理解。 对于一个问题的理解，关键靠自己多实践，找相关的资料学习，这样可以加深理解。 功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。 功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。 功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。 直接法： 直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。 改进的直接法： 对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。 2. Welch法 Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。 经典谱估计方法： 直接法：又称为周期图法，它把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅里叶变换，得到X(k), 然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)的真实功率普估计。 改进的直接法： 1. Bartlett法： Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图平均;将x(n)分成L段，每段由M个样本，因而N=LM. 2.Welch方法 Welch方法对Bartlett方法作了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期图法计算前直接加进去;二是在分段时可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。 AR模型的谱估计是现代谱估计的主要内容。 1.AR模型的Yule—Walker方程和Levinson-Durbin递推算法：在MATLAB中，函数levinson和aryule都采用Levinson-Durbin递推算法来求解AR模型的参数a1,a2,……,ap及白噪声序列的方差，只是两者的输入参数不同，它们的格式为： AR模型阶数P的选择： AR模型阶数P一般事先是不知道的，需要事先选定一个较大的值，在递推的过程中确定。在使用Levinson—Durbin递推方法时，可以给出由低阶到高阶的每一组参数，且模型的最小预测误差功率Pmin(相当于白噪声序列的方差)是递减的。直观上讲，当预测误差功率P达到指定的希望值时，或是不再发生变化时，这时的阶数即是应选的正确阶数。 因为预测误差功率P是单调下降的，因此，该值降到多少才合适，往往不好选择。比较常见的准则是： 最终预测误差准则：FPE(r)=Pr{[N+(r+1)]/ [N-(r+1)]} 信息论准则：AIC(r)=N*log(Pr)+2*r 上面的N为有限长序列x(n)的长度，当阶数r由1增加时，FPE(r) 和AIC(r)都将在某一r处取得极小值。将此时的r定为最合适的阶数p。 AR谱的分辨率： 经典谱估计的分辨率反比与信号的有效长度,但是现代谱估计的分辨率可以不受此限制. 这是因为对于给定的N点有限长序列x(n)，虽然其估计出的相关函数也是有限长的，但是现代谱估计的一些方法隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，因而AR谱的分辨率较高。 例如：序列x(n)由两个正铉信号组成，其频率分别为f1=20Hz和f2=21Hz,并含有一定的噪声量。试分别用周期图法，Burg方法与改进的协方差法估计信号的功率谱，且AR模型的阶数取30和50两种情况讨论。 波形发生器： 1.方波函数square: 有两种调用形式：x=square(t)和x=square(t,duty); 方波函数产生周期为2*pi，幅度为1和-1的方波，duty 为占空比，即信号为正值的区域在一个周期内所占的百分比。 2.三角波函数sawtooth: x=sawtooth(t)和x=sawtooth(t,width); 三角波函数产生周期为2*pi，幅度为1和-1的方波，width为0~1之间取值的尺度参数，当width=1时，产生方波，此时sawtooth(t,1)和sawtooth(t)相等。 3.线性调频信号函数chirp: 该函数用于产生调频的余弦脉冲，有三种格式： chirp(t, f0, t1, f1); chirp(t, f0, t1, f1, ‘method’); chirp(t, f0, t1, f1, ‘method’, phi); chirp(t, f0, t1, f1)用于在时间范围t内产生线性调频脉冲，该脉冲在0时刻信号的瞬时频率为f0Hz，在t1时刻的瞬时频率为f1Hz。 Method用于指定调频方法，可提供的调频方法有线性，二次型和对数三种，分别以”li”, ”q”和“lo”来表示，默认方法为线性调频。 phi用来指定信号的起始相位。 4.周期信号函数dirichlet: 调用格式如下：Y=diric(x,N) 该函数将区间[0 2*pi]等间隔分成N，并返回与x相同维数的矩阵。 5.sinc函数： 产生宽度为2*pi，幅度为1的矩形脉冲的连续傅里叶反变换信号，它是宽度为2*pi，幅度为1的矩形脉冲的连续傅里叶反变换的结果。 sinc函数的调用格式为：y=sinc(x)，返回与x相同维数的矩阵。 6.rectpuls函数： rectpuls函数产生非周期的，单位高度的矩形信号：其调用格式如下：y=rectpuls(t)和y=rectpuls(t, w); t为时间向量，w为矩形脉宽。 7.gauspuls函数： gauspuls函数产生高斯调制的正弦脉冲： 该函数用于产生最大幅度为1的高斯调幅的正弦信号，其调用格式为： yi=gauspuls(t, fc, bw); yi=gauspuls(t, fc, bw, bwr); [yi, yq]=gauspuls(…); [yi, yq,ye]=gauspuls(…); tc=gauspuls(‘cutoff’, fc, bw, bwr, tpe); 8.tripuls函数 tripuls函数产生三角形脉冲信号：该函数用于产生连续的，非周期的，幅度为1的三角形脉冲信号，调用格式为： Y=tripuls(T); Y=tripuls(T, w); Y=tripuls(T, w, s); 其中T为时间向量，脉冲的时间中心为T=0，默认宽度为1，s表示三角波的倾斜度，当s=0时，产生对称的三角脉冲信号。 9.vco函数： 调用格式为：Y=vco(x, fc, fs); Y=vco(x, [Fmin,Fmax], fs); 该函数用来产生压控振荡信号，其中fs为采样频率，fc，[Fmin,Fmax]为参考频率，而x的范围为[-1，+1]，输出频率与x成正比; |
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