| 摘要：本文从力学家的角度讨论了一些自然哲学问题，特别是关于确定论和随机论的问题。还讨论了人类对这些问题的认识是与求解的发展紧密相连的。 自然科学的各门学科都分别研究自然界的一方面, 如天文学研究解释天体、地质学研究地球内部的构造、生物学研究生命现象等。 然而力学学科从它一开始便以整个宇宙间的一切事物为研究对象。这是因为宇宙间的一切事物都可以有机械运动。 牛顿在总结前人成果的基础上建立了描述质点运动的方程，根据这一方程，如果知道质点所受的力，并且知道了质点的初始状态(初始位置与速度)，就可以求解质点的运动。他并且用这一方法成功地解释了行星的运动，在1687年出版了他的巨著《自然哲学的数学原理》。 在这本书中，牛顿踌躇满志地说：“我把这部著作叫作哲学的数学原理，因为哲学的全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种自然力，而后用这些自然力来研究各种自然现象。” 在这里，虽然他把研究全部自然现象归结为研究自然力。可是仍然使他迷惑不解的是：万有引力只能使静止的行星引向太阳，使它横向绕日而行的初始速度是怎样产生的呢？ 在1892年1月17日，牛顿致本特利先生的信中说：“所以重力可以使行星运动，然而没有神的力量就决不能使它们做现在这样的绕太阳而转的圆周运动。因此，由于这个及其他原因，我不得不把我们这系统的结构归之于一个全智的主宰。尽管牛顿常说: “我不需要假设”，而在这里牛顿却引入了人们称为“上帝的最初一棍子”或“上帝的第一推动”的假定。 法国学者拉普拉斯(P.S. Laplace，1749年-1827年)在数学和天体力学上作出了大的贡献，他最有名的著作是《天体力学》，曾被人们认为是经典力学的顶峰。他在1812年所著的《概率解析理论》一书的绪论中曾总结对世界的看法：“如果有一种至高无上的智者能了解在一定时刻支配自然界的所有的力，了解自然界每个实体的各自位置和初始速度，并且他还有足够的能力去计算这些物体的运动，那么他就能毫无例外地从最大的天体到最小的原子的未来和过去都一目了然。” 拉普拉斯按照牛顿学说将世界一切的事物的状态归结于一个向量x=(x1,…,xn)来描述。它的运动规律归结于一组微分方程的初值问题： dx/dt = f(x)，x(0) = x0 这里x0表示x(t)当t=0时的初始状态。当知道了x0与f(x)时，便可以求解x(t)，包括t>0(未来)和t<0(过去)。 拉普拉斯对世界的认识继承了牛顿的思想，并且将它提得更加明确。他的这个提法被认为是经典机械确定论最具代表性的表述。 按照这个提法的优点是，他抛掉了牛顿关于“上帝”的假设，将一切归结于自然界自己在一定外力和一定初条件下的运动。传说他将“天体力学”奉献给拿破仑皇帝后，拿破仑曾问起：“你为什么在书中不提上帝”，拉普拉斯回答说：“陛下, 我不需要那种假设”。 然而按照这种观点，他却成了定命论，或被人们称之为确定论或宿命论的代表人物。按照这种学说，在一定规律支配下，初值就决定了过去未来一切。犹如算命先生说，一个人出生的年、月、日、时八字便可以决定他一生的荣辱贵贱。拉普拉斯所说的至高无上的智者被后人称为拉普拉斯妖。 直至上一世纪末，似乎自然科学沿着正像牛顿和拉普拉斯所制定的路线在前进。例如赫姆霍兹(H. Helmholz，1821年-1894年)说：“一切自然科学的最后目的，是把自身变成力学。” 凯尔文(Kelvin, 1824年-1907年)说：“我不能自满，除非我能把那种物质作出一个力学模型。” 在这种观点指引下，光学、电动力学、热力学，无不在经典力学预制的框架下构筑了起来，新的模型建立了，新的方程提出了。而这些方程与求解无非都可以归结于拉普拉斯所提的方程的特例。无怪乎在上一世纪末一大批著名的自然科学家自满地说：“要知道理论物理学已经终结，微分方程已经确立，它们的解法已经制定，可借计算的只是个别的局部情况。”(普朗克的导师约利(Jolly)语)，“未来的物理学将不得不在小数点后第六位去寻找”(凯尔文语)。 然而事情并不是如此简单，自然规律也并不就是如此简明，客观世界毕竟比人们想象要复杂得多。 事实上。早在牛顿与拉普拉斯之前。人们便曾发现了一类不能由初始条件完全决定的现象。在1644年，意大利科学家托利赛利(Torricelli)发现重力作用下，重心取最低时物体的平衡才是稳定的。例如一个放在大球顶上的小球，初速度为零，但它可以沿任何方向从球顶上滚落。这时，显然初位置与初速度都是确定的，可是却无法确定小球以后的行为。人们对这类不稳定现象虽然有所觉察，但还没有引起足够的注意。 100年之后，1744年，欧拉(Euler)发现了弹性受压杆的分岔现象。一根笔直的圆截面杆在两端压力作用下，起初杆是直的，当逐渐增加到某一称为临界荷载的值时，杆可以发生弯曲，而弯曲的方向可以是任意的。这又一次说明初始条件无法确定杆后来的行为。欧拉的弹性杆虽然受到工程界的广泛注意，因为柱子受压是土木、造船等一系列结构工程常见的实际课题。但由于它是处理静力问题，也还没有引发人们哲理上的进一步思考。 事情又过了100多年，法国数学家庞加莱(Poincare，1854年-1912年)以哲学家的锐利目光抓住了这类问题。他在《科学与方法》一书(1913年出版)中说到偶然性时对于拉普拉斯的确定论做了如下的注解：“如果我们可以正确地了解自然定律及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。不过，即使自然定律对我们已无秘密可言，我们也只能近似地知道初始状态。如果情况容许我们以同样的近似度预见后继的状态，这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了，它受规律支配。但是情况并非如此，可以发生这样的情况：初始条件的微小差别，在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的极大误差。” 庞加莱这里描述的正是我们通常成语中说的“失之毫厘，差之千里”。他还举绕太阳运行的小行星为例说，如果它们相差“平均每天超出千分之一秒，事实上3年将超出1秒，一万年超出一度，三四百万年将超出一个圆周！” 庞加莱并且风趣地推论说：“在伦理学中，特别在历史学中, 情况正相同。……最大的偶然性是伟大人物的诞生。两个生殖细胞的相遇，不同性别的相遇纯粹出于偶然性，……只要使精子足以偏离十分之一毫米，拿破仑(Napoleon)就不会出生，欧洲大陆的命运就会改观。” 在庞加莱对于拉普拉斯确定论的批评的同时，物理界得到了许多新的实验事实，使确定论无法解释。上一世纪末，1895年伦琴发现了X射线，1897年汤姆逊(J.J.Thomson)确定了电子的荷质比，确定了电子的存在，1899年发现了铀放射的α、β射线是粒子，这些发现再加关于热辐射的研究，终于导致1900年德国物理学家普朗克(M. Plank)提出了量子论的假设。这些新事实说明经典力学原理不再适用，或按经典力学构架起来的经典物理不再适用了。于是在科学界引起了极大的震动。那时普遍流行着一种说法：确定论、机械论、经典力学的大厦崩塌了，物理学处于危机之中。 量子力学的出现成功地解释了许多新的现象，如热辐射、原子构造等等，使传统确定论观念完全改观。他虽然也有方程，例如薛定锷方程，但方程的解却是一个随机分布。它只能提供这个物体。例如电子，在某一位置或某一速度的几率，可以说它是一种随机论。由于当时这个几率函数一般记为ψ(读为普赛)，它的物理意义颇不好理解，当时著名量子力学物理学家德拜的青年助手W.休克写了一首诗： 先生有普赛，运算殊无碍， 普赛究如何？浑忘作交代。 同样，由于关于几率函数的物理解释，在名人之间也展开了一场论争。一方是量子力学家马克斯·玻恩为代表的哥本哈根学派，他们宣称“量子力学不再描写自然界本身，而是描写我们关于自然界的知识。” 它表示只能这次测量推测下一次测量的各种结果的分布几率，而对于事物在两次测量之间的行为拒绝作具体的描述。 站在对立面的以大物理学家爱因斯坦为代表，他在1916年12月4日写给马克斯·玻恩的信中表示：“量子力学是令人赞叹的。但我有一个心声告诉我，这还不是真正的天使。这个理论有很多成功的地方，但并没有使我们更接近上帝的奥秘。无论如何我相信上帝不是在掷骰子。” “上帝掷骰子”是爱因斯坦对哥本哈根学派的精炼的形象概括。 支持爱因斯坦的物理学家薛定锷在1935年还提出一个猫悖论对玻恩等加以责难。他设想在一个密闭的箱子里，有一只猫，箱中还有一根极细的线吊一个内盛剧毒氰化物的小瓶。又假设这根线强度极低，只要一个光子击中它，线就会断掉，玻璃瓶便会打碎，而猫必被毒死。想知道猫的死活，至少要用一粒光子去探测，设令一个光子射中线的几率为50%。这时描述猫的状态(死或活)的波函数就去告诉我们猫是“半死半活”，并不能回答猫究竟是死还是活。 实际上这场争论从20年代开始一直延续到今天还在各不相让。这种长期的争论而不能达到共识。至少说明确定论在有些场合不灵了，但也并不能就说明随机论或量子论可以包打天下。今天我们虽然还没法判定争论双方的对错，但我们可以根据本世纪近百年来科学发展的某些新进展，对于争论的某些特点给予探讨。 事实是，近代科学从产生到发展的300年来在力学和物理领域中活动的科学家，主要任务看来是在制造方程，如牛顿运动方程、弹性力学方程、Maxwell电磁方程、薛定锷方程、流体力学N-S方程等等。一类现象一个模型，一个模型一种方程。至于在有了方程之后的另一方面的工作：方程的求解，限于认识，也限于条件，人们多少有点瞧不起，不是认为很简单，就是解不动，太复杂不值得去费力气。 在求解这方面，虽然经过了数百年，人们毕竟还没有走多远。最初的消息只能使人泄气。1829年，人们称之为数学史上最年轻的天才和最愚蠢的死亡(死于决斗)者伽罗华(1811年-1832年)在他19岁的时候，得到高于5次的代数方程不可能用公式求解的证明。同时，早在17、18世纪，人们又遇到了大量初等函数的积分，没法用已有的初等函数表示，例如，为求行星轨迹而计算椭圆弧长等问题。于是人们逐渐认识到一大批问题的精确求解为不可能，必须转而求近似解。 但是只用手和纸去求一个复杂问题的近似解，谈何容易。于是, 人们称之为数学史上的最后一位通才庞加莱在上一世纪末，开辟了微分方程定性理论的研究方向。庞加莱讨论了给了平面向量场，要求曲线使每一点与给定该点的向量相切的问题。他能够利用向量场的性质直接确定曲线的性质，如回答有没有周期解的问题，他特别讨论了奇点(该点的向量为零向量)邻近的曲线行为。 不仅如此,他还于1885年在研究天体演化规律时，用定性方法预言了一个在引力作用下的球形流体团，当它旋转时，在一定的角速度下，可以有椭球和梨形两种运动状态，从而最早提出了物体运动分岔的概念。也正是基于对运动系统可能的分岔解的深刻了解，庞加莱才预言根据初条件不能一般地准确预言它以后运动的断言。 庞加莱对运动方程的解了解得虽然比前人深入了一步，但由于时代的局限性，他还只是研究平面上的微分方程。而且在他之后的近百年的发展中，人们也有一种错误的直觉，似乎对平面上微分方程的解曲线弄清楚了，对高维空间便也差不多了解清楚了。 事实又大出意料之外，1963年，美国的气象学家洛伦兹(E.N. Lorenz)，将流体力学有温度的对流方程通过三角级数求解只取前3个未知数得到一个3个一阶联立方程，而且向量场除了两个二次项之外全是线性项。他借助于早期的电子计算机花了一二年的时间去求解，发现了解的奇怪性态。即是说发现了除周期解外，还有一种更为一般的围绕两个奇点来回绕的解，后人也把这种解称为奇怪吸引子。 奇怪吸引子的发现是整个科学界的大事，它说明，300年来，人们对动力学非线性方程解的行为了解得还是过于简单化了。所谓初值即可决定过去未来的一切，只不过是这种简单化了解的一个侧面而已。 随后，从60年代起，人们又发现一类解，看上去方程的解是确定的，但在某些条件下，解的行为完全是随机的，这就是所谓的混沌解。经过了100多年研究而成效甚少的湍流现象也可以认为是一种混沌现象。早在40年代人们就曾猜测混沌是一种多次分岔的结果。近年来计算机的求解，更增强了人们的这种信念。 原来人们对运动形态多样化的认识是逐步深化的。起初人们认识到一类系统，例如单摆，有很小的阻尼，不管初始条件怎样，它的运动都趋向一个极限：静止不动。相空间中这个与初始条件无关的极限点，便称为一个吸引子。后来发现吸引子可以是一个周期运动，例如一只上足了发条的表，只要发条还满，它总是进行周期运动。吸引子将运动限制在它邻近的有限空间内(不到无限远去)，奇怪吸引子也是一类吸引子，而混沌是更为复杂的吸引子。混沌运动的特点是无论初条件如何，随时间的增长，系统在相空间的轨迹始终在有限部分，而且还不重复(若运动回复到原来经过的一点，便会形成周期运动。)也不趋于一点或一条线，所以它是十分复杂的运动。 有人把混沌通俗地说成是“差之毫厘, 失之千里”，这还有点不准确。从一点出发沿射线方向向无穷远运动，虽然初方向的任意小的偏差会在无穷远处造成任意大的误差。但这种运动还是十分简单的、规则的，它并不是混沌。一般认为在进入混沌运动之前必然有一个运动分岔的过程。 从以上简要叙述可以看出，人类认识像混沌这样复杂的运动是颇为了不起的成功。从经典力学系统建立起，它是经过数百年摸索和寻求的产物。至此，人们对方程确定的解和求解的了解，是否已经可以心满意足了呢，我们还不能满足。 大约是1964年，美国物理学家、诺贝尔奖金获得者费曼(L.S. Feynman)在他的《物理讲义》中用简短而精炼的语言概括了这种人们对求解一无所知的情况，他说：“我们已经写下了水流的方程。由实验的方法我们发现了一系列概念并用之去讨论近似解--涡街、湍流尾迹、边界层等。当我们有一个类似的方程，而且我们还不能对它做实验，我们希望即使以含糊的不能完全肯定的初等方式去解这些方程，去了解从这些方程能得出什么新的定性特点。例如，对于太阳，可看做由氢构成的球，无太阳黑子和硬块，也没有凸起与下凹，即使这样，我们也还没有找到求解办法，……人类智慧觉醒的下一世纪，也许可能产生一个去了解这些方程定性含义的方法。而今天，我们还不能”。 至此，300年来的历史至少可以告诉我们以下几点： 第一，说经典力学的框架等于确定论、宿命论。无论是牛顿、拉普拉斯自己还是攻击他们的人，都是对运动的了解过分简单化了。因为近30年的研究表明，即使在经典力学运动方程中，便已包含了混沌解，包含了随机解。而这种简单化的根源是对于已有非线性方程解的复杂情况缺少认识所致。 第二，对解的复杂性的认识，依赖于求解工具的改进。奇怪吸引子是在电子计算机帮助下得到的，可以这样说，电子计算机引起了对运动方程解的复杂性深入了解。可以想象“人类智慧觉醒的下一世纪”，也许预示着更为充分地应用电子计算机。 第三，即使今天，我们拥有的对方程的求解手段，特别是对非线性方程的求解手段还是十分贫乏的，我们几乎还没有什么普遍有效的办法去应付任何非线性问题。看来，科学的任务不仅包含提出和修改模型，提出和修改方程，对于非线性问题，发展求解手段，了解方程解的定性性质，已成为发展自然科学另一方面的重要而紧迫的任务。 第四，如果说从本世纪20年代开始的以爱因斯坦与玻恩为首的关于量子力学解释的争论，是关于客观世界中随机性和偶然性解释的分歧，那么，分岔受到人们注意以及混沌的发现，人们从中是否看到在分歧背后有可能达到新的统一的一线光明。就是说，在原先认为完全确定的方程中，一定条件下，人们得到了随机解。另一方面，在随机方程(例如薛定锷方程)在一定条件下趋于确定解，或者它是原先认为的确定问题的随机情形也未可知。现在，尽管有的作者在写文章中明确宣称自己拥护爱因斯坦或玻恩，但在他们的立论中，却都相互增加了许多共同点。 总之，我们面对的是认识世界的一切事物，只有当我们的模型愈精确，方程愈完善，对解的了解愈全面，在一定情形下，能求解充分精确，则我们对自然界的认识会愈深刻。从另一方面讲，历史的经验告诉我们，在没有对问题的解有足够了解之前，切不可说大话，对已经得到的结果应当审慎地推广。力学一方面是工程技术的基础，而另一方面，力学作为人类认识整个宇宙万物运动的工具,它的历史任务迄今还远没有完结。 参考文献 [1]塞耶 H.S.(美)编. 牛顿自然哲学著作选. 上海: 上海人民出版社, 1974 [2]艾米里奥·塞格莱(意)著.物理名人和物理发现. 知识出版社, 1986 [3]伏·恩·瑞德尼克(苏)著.量子力学史话. 北京: 科学出版社, 1979 [4]詹姆斯·格莱克(美)著. 混沌--开创新科学. 上海: 上海译文出版社, 1990 [5] Feynman L S. Lectures on Physics, Vol.II, Addison-Wesley PublishingCompany, 1964 [6]洛伦兹 E N(美)著.混沌的本质. 北京: 气象出版社, 1997 [7]李醒民著.激动人心的年代. 成都: 四川人民出版社, 1984 本文最早刊于《力学与实践》1998年20卷第5期，第74-77页。 来自：科学网武际可博客 |
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