计算单自由度振动系统固有频率的3种方法

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　　系统的固有频率是系统振动的重要特性之一，在振动研究中有着十分重要的意义。单自由度系统固有频率的计算常采用以下几种方法。

　　1、静变形法
　　如竖直方向振动的弹簧质量系统，当质体处于静平衡状态时，弹簧的弹性恢复力与质体的重力互相平衡。假定质体的重力为W=mg，弹簧的静变形为δj，弹簧刚度为k，则有：

　　结合

　　可推得

　　由上式可以看出,只要测得弹簧的静变形量,就可以计算出系统的固有频率。

　　2、能量法
　　无阻尼自由振动系统没有能量损失，振动将永远持续下去。在振动过程中，动能与弹簧势能不断转换，但总的机械能守恒。因此，可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率。

　　振动任一瞬时，系统机械能守恒，有：

　　式中：
　　T——系统质量的动能;
　　U——系统弹性变形势能或重力做功产生的势能。

　　如图1所示，任一瞬时质体m的位移为x，则系统的动能为：

　　该系统的势能为质体m离开平衡位置时弹性恢复力所做的功，即：

　　此时系统的总机械能为：

　　当质体m经过平衡位置时，位移x为零，势能等于零，其动能达到最大值，即：

　　当质体m离开平衡位置达到最大位移处时，速度为零，动能为零，其弹性势能达到最大，即：

　　由于系统的最大动能与系统的最大势能相等，所以有：

　　对单自由度无阻尼自由振动，时间历程为：

　　对时间历程方程式求得，得

　　由：

　　得系统的最大动能为：

　　由：

　　可知系统的最大势能为：

　　由：

　　得到：

　　即：

　　进而有：

　　能量法可以比较方便地计算出复杂的单自由度系统的固有频率。

　　3、瑞利法
　　上述两种方法，均忽略了弹性元件的质量。但在许多实际问题中，弹性元件本身的质量可能占总重量的一定比例。如果此时忽略部分弹性元件质量，将会导致计算的固有频率偏高。为了计入弹性元件的质量，瑞利(Rayleigh)提出了一种考虑弹性元件质量的近似计算系统固有频率的方法，称为瑞利法。在应用瑞利法时，通常用系统的静态变形曲线代替实际系统的振型曲线，然后采用能量法求解系统的固有频率。实践证明，该方法较精确，误差较小。

　　如图2所示，假定弹簧各截面的位移与它离固定端的距离成正比，即与其静态变形情况相同。当质体m位移为x时，则弹簧上离固定端距离为y处的位移为 。当质体m在任一瞬时的速度为 时，弹簧上离固定端距离y处的微段dy的相应速度为 。


　　令ρ为弹簧单位长度的质量，弹簧微段dy的质量为ρdy，则弹簧微段dy的动能为：

　　所以整个弹簧的动能为：

　　取m'=ρl，则：

　　显然，整个系统的总动能为质体m的动能与弹簧的动能之和。当质体m经过平衡位置时，系统的最大动能为：

　　系统的最大势能仍与不计弹簧质量的情况相同，即：

　　由机械能守恒定律可知，Tmax=Umax，即：

　　如前述，质体m做简谐振动，则有：

　　由

　　得到：

　　所以：

　　上述计算结果说明，当考虑弹簧质量对系统的影响时，只需把弹簧质量的1/3加入质体m上求解固有频率，便会得到精度较高的近似值。例如，m'=m时，误差仅为0.75%;当m'=0.5m时，这一近似值与准确解比较，误差为0.5%;而当m'=2m时，误差仅为3%。

　　来源：节选自《机械振动学》(第2版)
　　作者：闻邦椿 刘树英 张纯宇