圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性

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　　物体在液体中受力与其表面材料无关，置换为该液体时应处于平衡状态，因而受力就是相应液体重量，且通过其形心即浮心。浮心相当于浮体的支承点，重心在其下方一定稳定平衡;若浮心低于重心，不同姿态下浮心全体也就相当于刚体外轮廓，重心与浮心的距离达到极小则稳定平衡。

　　圆柱在轴线竖直和水平的平衡姿态之外，另有图所示的3种可能姿态。圆柱轴线即y轴从竖直方向偏离的角度为θ。

　　(a) 水面仅与侧面相交; (b) 水面与侧面及底面相交;(c) 水面与顶面及底面相交

　　图1

　　半径R、长L、体积V 的圆柱体浮于水面，比重为γ<1。水面将圆柱分为两部分，基于浮力定律，水下部分的体积是γV，其形心就是浮心B;水上部分的体积是(1–γ)V，其形心B '。两部分构成圆柱体，因而连线BB' 必然通过圆柱体中心W，且有BW * γV=BW '*(1–γ)V。于是，BW 和B' W 随姿态的变化特征相同。这意味比重γ 和1–γ 的圆柱体平衡姿态即水面位置相同。因而下面仅对0<γ≤0.5情形予以说明。

　　图2

　　图2是几个关键位置处圆柱比重与长径比的关系。在黑色曲线1下方，圆柱可以竖直姿态稳定平衡，长度达到曲线1之后继续增加则出现倾斜的平衡姿态，且是稳定的，而竖直姿态变为不稳定平衡。在棕色曲线4上方，圆柱可以水平姿态稳定平衡，长度减小达到曲线4之后则会倾斜，水平姿态变为不稳定平衡。这就是说，圆柱参数在上图的左右两侧时，圆柱可以竖直的姿态、也可以水平的姿态稳定平衡。

　　圆柱参数在红色曲线2，底面边缘的P点正好到达水面，长度增加底面则逐渐出露水面。在蓝色曲线3，顶面边缘的Q点正好到达水面，长度减小顶面则逐渐出露水面。在曲线的交汇区域，圆柱浮体的平衡姿态比较复杂，仅以比重0.2为例说明圆柱平衡位置的倾角和浮心-重心的距离随长径比的变化特征。

　　图3

　　圆柱长度从0增加到L1=1.768R 时轴线竖直即θ=0°失去稳定而开始倾斜，重心-浮心距离仍随长度近于线性增加;在L2=1.826R、θ=20.1°时，底面边缘P 出露水面、圆柱进入姿态b。长度增加到1.843R 后姿态b 的平衡位置就有两解，重心较低者是真实存在的状态。在θ=25.3°时达到长度极值，其后长度增加则无解而只能发生突变，倾角θ 跳跃到90°，即圆柱轴线水平，重心高度也由0.7348R 突降到0.7003R。

　　若圆柱长度减少至1.742R，开始偏离水平状态，继续减少至1.677R、θ=60.3°时，顶面边缘Q 开始出露，但很快就发生突变，圆柱姿态转为竖直状态。在两个极值点处圆柱浮体的平衡位置发生鞍结分岔，而其中间的不稳定平衡位置不会实际出现。

　　稳定平衡姿态的突变点所对应的圆柱参数就是前面图3中绿色曲线J。参数位于两个分岔集J 之间的区域Ⅰ~Ⅴ，平衡位置有2个或3个，但只有1个是稳定的。如图4所示，长度在L1~ L4之间时，姿态a、b或c的平衡位置是稳定的，而轴线竖直或水平的姿态则总是不稳定的。

　　系统参数位于分岔集J 的左右两侧时有3~5个平衡位置，其中2个是稳定。计有9种情形。圆柱总是具有轴线竖直、水平的平衡姿态以及至少姿态b的一个不稳定平衡位置。轴线竖直和水平的平衡姿态在区域①都是稳定的。

　　图4

　　参数在区域②和③，轴线竖直姿态失去稳定，但分别增加了姿态a 和b 的稳定平衡;在区域④和⑤，轴线水平姿态失去稳定，但分别增加了姿态c 和b 的稳定平衡。前述γ=0.2<γ14=0.2050的平衡位置变化，包含了区域①~⑤以及Ⅰ和Ⅴ。

　　参数在区域⑥~⑨，有轴线竖直、水平以及姿态b 的3个不稳定平衡位置;除此之外，参数在区域⑥有姿态a 和c、在区域⑦有姿态b 和c、区域⑧有姿态b 和a 的各1个稳定平衡位置，在区域⑨则有姿态b 的2个稳定平衡位置。图中γ=γ23=0.2415、L=1.7222R 是区域⑥~⑨的结合点：姿态P 的θ=22.6°和姿态Q 的θ=57.5°是稳定平衡位置，而θ=45.7°以及竖直和水平的姿态都是不稳定的。

　　综上所述，平衡位置的数量有2~5个，而稳定姿态则是相间的1~2个。系统参数从区域⑤、⑧、⑨、⑦、③跨出分岔集J 时，原姿态b 的稳定平衡位置将失稳而跳跃到区域Ⅰ~Ⅴ的稳定平衡位置。参数在区域⑨有姿态b 的3个平衡位置，在分岔集J 一个稳定平衡位置会失稳而跳跃到另一个稳定平衡位置。又，参数进入分岔集J时平衡位置不会发生突变。

　　作者注：详尽分析烦请参阅，尤明庆. 圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性. 力学与实践，2018，40(6): 676-682

　　来源：尤明庆科学网博客，作者：尤明庆 河南理工大学教授，内容有删减。