单自由度弹性体系振动方程

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　　一·自由振动方程的建立以及特解
　　单自由度弹性体系的自由振动方程是学习建筑抗震知识的基础，所以，尽管这部分内容难点多，而且繁琐，但作为结构设计人员应尽力掌握。否则，以后的抗震知识只知其然却不知其所以然。

　　如上图所示，一个振动体系同时存在着3个力，即

　　弹性恢复力S(t)=-K.x(t);(K为体系的弹性刚度)

　　阻尼力R(t)=-C.x'(t);

　　惯性力I(t)=-[m.x0'' (t)+m.x'' (t)];

　　x0 (t)为地震时地面的水平位移;x (t)为质点m相对于地面的弹性水平位移，这是我们待解的未知量。所以，x0 (t)+x (t)表示质点的总位移;x0'' (t)+x'' (t)表示质点的绝对加速度。

　　根据达兰倍尔(D.Alembert)原理，可建立如下方程：

　　即

　　式中的C即为阻尼系数，阻尼力是使体系不断衰减的力，来自结构材料的内摩擦，结构构件连接处的摩擦，结构周围介质的阻力，地基变形的能量耗散等。

　　为了方便分析，做如下定义阻尼比ζ：

　　ω为无阻尼单自由度弹性体系的圆频率;那么，简单的单自由度体系的自由振动方程可改写为：

　　上式是一个非齐次微分方程，其通解由齐次解和特解组成。为得到该方程的齐次解，我们需要令方程右侧等于零，即令该体系自由振动(习惯上称-m.x0'' (t)为干扰力P(t)，即P(t)=-m.x0'' (t)=0)。

　　上式的解可写作：

　　式中，A、B为常数，由初始条件确定;为有阻尼的圆频率，与无阻尼ω的关系如下ω’=ω√(1-ζ^2 )。

　　当t=0时，体系的初始位移为x(0)，初始速度为x’(0)，代入上式以及对上式求导后可得：

　　应用高等数学知识，我们可以得到齐次解为(又称“自由振动特解”)：

　　二·阻尼比
　　通过式ω’=ω√(1-ζ^2 ) 可以看出，ω’小于ω，所以，阻尼的存在使得结构的周期变大。而且，当阻尼比ζ<1，体系振动;当阻尼比ζ=1，体系不振动，因为ζ=1时ω’=0。

　　一般情况下，ω’≈ω。所以，在计算软件中，通常人为的改变阻尼比基本上不会影响结构的周期(理论上应该影响，严格说结构的周期只与结构的刚度及质量有关是错误的，这种说法的前提是针对完全弹性材料)。

　　阻尼比ζ的理论概念反映了体系振幅的衰减快慢，阻尼比ζ越大，振幅的衰减越快。但真正能够得到结构的实际阻尼比ζ却是太难了，因为我们无法对实际的结构进行自由振动试验或强迫振动试验，只能通过半理论的方法确定阻尼比ζ，这也是没有办法的办法。所以,规范只是硬性的规定了一些不同材料结构的阻尼比ζ取值而未做更深入的讨论。事实上，对一个结构，它的阻尼比ζ是变化的，随着材料由弹性进入弹塑性继而进入塑性的过程，阻尼比ζ是随着增大的。

　　从地震影响系数曲线可以看出，随着阻尼比ζ的增大，地震影响系数α随着减小，结构的地震反应也随着减小，这对我们抗震设防的三个水准是非常有利的。

　　三·强迫振动方程的建立以及特解
　　如果随时间变化的干扰力P(t)≠0，那么对于一原先处于静止状态的体系，其受到的冲量为P(t).Δt，用微分形式表示为P.dt，P.dt为瞬时冲量。根据动量守恒定律，有

　　v0为初速度，m为质量。由于原先静止，故v0=x(0)=0，那么，体系在冲量P.dt作用下获得初始速度v

　　将x' (0)=(P.dt)&#8260;m和x(0)=0代入“自由振动特解”中，可得

　　该函数即为强迫振动的单自由度体系位移时程方程，下文我们称之为“强迫振动特解”。

　　四· 杜哈梅(Duhamel)积分
　　我们可以分析一下“强迫振动特解”。该方程是时间的函数，虽然只有一个未知量t，但干扰力P(t)也是时间的函数，这就增加了求解该方程的难度。但是，如果我们换一种思路，可能就会把问题简化的多。

　　我们观察原始公式

　　式中m.x0'' (t)是引起振动的地面运动加速度，也就是强迫力P(t)。既然P(t)是时间的函数，增加了方程的求解难度，那么我们先对P(t)进行微分，将其化为多个连续作用的瞬时荷载，即在t=τ时，

　　瞬间荷载为-m.x0'' (τ)，

　　瞬间冲量为-m.x0'' (τ)dτ。

　　将上式代入“强迫振动特解”中，并将其微分化，得到

　　体系在整个受荷过程中所产生的总位移量可由瞬时冲量-m.x0'' (τ)dτ引发的微分位移量的叠加而得到，考虑到ω’≈ω，故上式可写成：

　　上式即为著名的杜哈梅积分。

　　五·强迫振动的通解
　　将上述齐次解和“强迫振动特解”相加，即为强迫振动方程的通解。

　　对于一般的振动体系，当t=0时，体系的初始位移为x(0)，初始速度为x‘(0)，故上式的第一项等于零，只有杜哈梅积分有意义。故杜哈梅积分代表了原先处于静止状态的单自由度体系的振动位移反应。