某简易平台的动力学分析之稳态动力学分析

为脆弱的城市

稳态动力学分析主要用于确定结构在简谐荷载下的稳态响应，亦成为谐响应分析，其动力学方程为：

可得到方程的通解为：

其中第一项为瞬态响应，会逐渐衰减为零；第二项为稳态响应，结构会保持与激励相同的频率振动，稳态动力学正是要研究结构在不同激励频率下的稳态响应。
对于稳态动力学分析，ABAQUS的求解方法主要有三种：直接法，模态叠加法和子空间法。其中直接法对动力学方程进行直接积分求解，求解精度最高，但计算成本最大，可以施加力和位移激励；模态叠加法和子空间法都需要基于模态计算，且只能施加力激励，计算成本较低。
本文将在前文“某简易平台的动力学分析之模态分析”（以下均简称为“前文”）的基础上，采用模态叠加法进行稳态动力学分析，主要内容包括：
（1）  采用模态叠加法进行稳态动力学分析的基本步骤；
（2）  选取的模态阶数对稳态动力学结果精度的影响；
（3）  稳态动力学分析结果解读。
下面开始进行基于模态叠加法的稳态动力学分析。几何模型，材料参数以及单元网格同前文相同，均间述之。

1.    建立几何模型
创建平台结构的3D模型，如下图所示。

几何模型

2.    创建材料参数
本例结构所使用的材料参数如下表所示，注意在动力学分析中必须定义密度。

3.    创建装配体（略）

4.    创建分析步
(1) 创建Step-1：选择Linear Perturbation/Frequency，求解阶数为3；
(2) 创建Step-2：选择Linear Perturbation/Steady State Dynamics , Modal，分析频率范围为0~100Hz（根据实际的激励频率范围输入即可），使用直接模态阻尼，阻尼比为0.01。

稳态动力学分析（模态叠加法）基本设置

1：扫描间隔（对数间隔or线性间隔）；
2：是否根据系统的特征频率划分扫描区间，建议勾选；
3：定义扫频范围；4：定义扫频点数；
5：偏置参数，大于1，频率点向两端集中，小于1，频率点向中部集中，等于1，频率点均匀分布。

5.    设置载荷边界
四根支柱底部全约束，平台一侧施加X方向的正弦线压力1MPa/mm。

载荷边界

6.    划分单元网格
单元类型及网格大小如下表所示。

7.    创建Job并求解

8.    结果分析
稳态动力学分析关心的是结构在激励频率范围内的响应幅值，响应包括位移，速度，加速度，应力，应变等，注意此处说的是响应幅值，而并非响应时间历程。
在后处理界面中，菜单栏Result/Option/Complex Form/Magnitude，即可进行后续幅值频率曲线的显示。

结果设置

幅值、相位角、实部、虚部之间的关系

下面开始输出平台X方向的位移幅频曲线。选择Create XY DataFrom ODB Field Output，只激活分析步Step-2，输出左侧（加载端）中心处的位移U1。

位移幅频曲线的输出设置

平台加载端中心处的位移幅频曲线

由位移幅频曲线可以看出，平台在激励频率为28.77Hz时出现振幅的最大值，约为0.67mm。由此可以判断此平台结构在幅值为1MPa/mm，频率范围为0~100Hz正弦载荷的激励下，结构发生的最大水平位移为0.67mm。但是，此分析结果正确吗？
回顾一下前文所述的有效模态质量，本例只选取了前3阶的模态，在X方向上总有效模态质量占总模型质量的比例还不到1%，因此结果存在严重问题。下面将分别取前5阶和前10阶模态进行计算。

9.    不同模态阶数计算结果对比
将Step-1中的分析阶数改为5，同时Step-2中的阻尼起始阶数改为1~5阶。其他设置不变，可以得到模态阶数为5时的位移幅频曲线。类似的方法，也可以得到模态阶数为10时的位移幅频曲线。

模态阶数设置

不同模态阶数下平台加载端中心处的位移幅频曲线

由上图可以看出，当模态阶数变为5阶时，位移幅频曲线与3阶时相差很大。当模态阶数变为10阶时，位移幅频曲线与5阶时基本一致。激励频率为39.19Hz时（此平台结构的第5阶自振频率），位移幅值达到最大值32.88mm。由此可以看出，在使用模态叠加法进行相关计算时，所取的模态阶数是否足够对分析结果有着重大影响。
使用模态叠加法选取模态阶数的原则是：
在主要振动方向上，所取阶数的总有效模态质量至少占总模型质量的90%。如果没法判断主要振动方向，则X,Y,Z三方向上各自的总模态质量占比均需达到90%。

10. 稳态动力学分析结果查看步骤
在稳态动力学分析完成之后，可以得到响应的幅值、相位角、实部和虚部随频率的变化曲线。那么如何合理的查看结果呢？结果查看的步骤一般如下：
  · 绘制结构上特殊点（关注点）处的位移幅值-频率曲线；
  · 确定各临界频率（曲线峰值点对应的频率）和相应的相位角；
  · 观看整个结构在各临界频率时的位移和应力。
下面以模态阶数为5时的稳态动力学分析为例，查看计算结果。
绘制平台加载端中心处的位移幅值-频率曲线

位移幅值-频率曲线

确定临界频率为39.19Hz，位移幅值为32.88mm，记下对应的帧数为94。在Result/Option中，设置Complex Form为Phase angle，按照提取位移幅频曲线相同的方法，可以得到相位角频率曲线，找到临界频率对应的相位角为0.46°。则平台加载端中心处的稳态响应位移为：

在Result/Option/Complex Form中，设置Value at angle(θ=wt)为-0.46°，此时位移达到幅值。打开Frame Selector，输出第94帧的结果，可得到整体结构的位移和应力云图。同时也可以观看简谐振动的动画。

位移云图

应力云图

11. 总结
本例主要展示了基于模态叠加法的稳态动力学分析，重点在于模态阶数的选取和对结果的理解。在下一篇文章中，将讲述基于直接法的稳态动力学分析。

参考资料：
张文元，Abaqus动力学有限元分析指南
庄茁，Abaqus非线性有限元分析与实例