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[线性振动] 振动和简谐运动的物理学

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发表于 2020-6-10 16:10 | 显示全部楼层 |阅读模式

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振动是宇宙中普遍存在的现象,大到所有的宏观物体(地震),小到基本粒子(热运动、布朗运动)。振动(又称振荡)是指一个状态改变的过程,即物体的往复运动。在定量研究里(可以用公式法、作图法、列表法给出确定数值)只有四种最简单的运动:匀变速直线运动、匀速圆周运动、抛体运动和简谐振动。
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当一个物体发生振动时,物体会从平衡位置来回移动。如果一个物体静止不动,位置不发生任何变化,这时我们说这个物体上受到的净力为零。所以,当我们给一个物体施加一个外力时,物体的平衡状态会被打破,物体开始远离平衡点,要么发生匀速直线运动,要么发生振动运动,物体在某一点后停止,然后回到平衡点,紧接着移动到另一边,然后停止,然后再回来,如此往复运动……

振动在日常生活中随处可见。从我们车里的摇头娃娃、家里的摆钟、掉在地板上的弹球、秋千上的孩子、风中摇摆的树或任何其他摇动和摇摆的动作,通常这些物体要么富有弹性,或是一个像钟摆一样的物体。但如果我们深入的研究,会发现所有的东西都在振动,即使是看起来静止的固体。在固体中,粒子也在振动,只有在绝对零度 (-273℃) 时,所有运动将会停止。我们今天主要讨论的是宏观物理学的振动和周期运动。


● 周期运动 ●

当物体的振动表现出规律和往复运动时,我们称这种运动为周期性运动。物体在同一时间内沿着同一路径往复运动,直到阻尼停止。弹簧上的配重是学习周期运动最好的例子,如图。
微信图片_20200610160304.gif
在上面的动画中,我们先把配重拉到最低点也就是起始的位置,然后松手,从最低位置开始,配重会上升到平衡点,并经过平衡点继续上升,直到停止,这就完成了周期运动的一半;然后配重会在弹簧的恢复力和重力作用下改变方向,开始返回,在返回的过程中,配重会再次经过平衡点,并回到底部最低点。所有的过程我们称之为一个循环,总共由4个部分组成。配重完成一个循环的时间叫做周期。

由于运动的过程是以秒为单位度量的,所以周期的单位也是秒,我们用大写字母T 来表示。如果我们把这个定义反过来问:在一段时间内发生了多少个周期的运动?那么,我们就有了另外一个衡量周期运动的物理量:频率,用f 表示,单位为赫兹 (Hz)。周期与频率的关系如下:
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周期和频率存在直接联系。周期是完成一个完整的循环运动所需要的时间,频率是单位时间内完成的周期数。如果我们知道其中一个物理量就很容易得到另外一个。

在周期运动中还会经常提到的另一个定义:振幅。上文中的弹簧配重的最大位移就是振幅,用大写字母A 表示,单位为米 (m)。振幅是一个物体离开平衡位置的最大位移。

● 简谐振子(运动)●

关于弹簧,上文已经讲了一些基本的常识,现在介绍一下简谐运动。

弹簧的一端连接一个重物,而另一端连接到一个刚性支架上。当系统静止在平衡位置时,作用在重物上的合力为零。质量从平衡位置发生位移时,弹簧会产生一种使整个系统恢复平衡的弹力,这就是我们熟知的胡克定律。
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胡克定律说明了拉伸或压缩弹簧所需的力F 与发生的位移x 成线性关系。弹簧的弹力总是跟配重运动方向和位移x 的方向相反,因为当弹簧被压缩时,弹力把整个系统往下推,当弹簧被拉长时,弹力会把整个系统往回拉,弹力趋向于使系统恢复平衡。这就是公式F=-kx 有个负号的原因。

在公式中,F(单位为牛顿)为恢复力(弹力),x 为位移(单位为米),k 为弹性系数,该常数取决于弹簧的材料。我们来看看整个运动过程:
微信图片_20200610160327.gif
当我们把一个重物挂在弹簧上,系统处于静止,这时重物处于平衡位置,合力为零,因为弹簧的力等于把物体拉向地面的力。这时我们从平衡位置将重物移开然后松手,重物会受到弹簧所产生的净恢复力,重物会向平衡位置移动。越接近平衡位置,恢复力就越小,直到在平衡位置降为零,这时加速度为零。在我们刚松手时,加速度最大,这就是简谐运动的起点。

在重物到达平衡时,由于动能的原因,弹簧会被压缩,重物继续向上运动。当弹簧压缩时,向下的加速度增加,恢复力使重物减速,直到重物在振幅处停止。此时,向下的加速度再次达到最大值,重物开始下降,而加速度也再次下降,直到再次达到平衡位置时降为零。当重物经过平衡位置时,开始减速,直到到达开始时的底部振幅。

如果整个过程中没有能量损失,运动就会一直重复,我们就有了一个简谐振子。由于阻尼会造成能量损耗,振幅会随着时间的推移越来越小,直到最后为零,运动也将停止。

一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动,即为简谐运动。这个过程中的能量变化是怎么样的呢?首先,要知道的是,一个物体静止时有势能,有速度时有动能,我们就能很容易地理解这个运动过程中的能量变化,如图。
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总能量是动能和弹性势能的和。我们从振幅的最低位置开始,物体是静止的。因为此时速度为零,所以没有动能,整个能量是势能。当物体开始运动时,势能减小,而动能随着速度的增加而增加。在平衡状态时,势能为零,整个能量为动能。当物体继续上移到振幅较高的位置时,动能减小,势能增加,直到上升到振幅的位置,动能为零,整个能量都是势能。
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我们发现,位移、速度和加速度都具有周期性。我们可以解微分方程得到三角函数解。
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上图都是微分方程的解和角频率ω=2πf。

从下图中可以看出,位移从振幅开始,速度从0开始,加速度从最大值开始,函数是周期性变化的。现在我们来看一个关于周期和频率的重要问题,也就是周期和频率的决定因素是什么?如果我们改变质量,运动会改变吗?如果我们有相同的质量,但增加振幅,运动会改变吗?
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● 周期和频率与振幅无关 ●

不管你把重物向下拉几厘米还是几米,周期和频率都是一样的。我们知道,角频率是ω=2πf,角动量取决于质量和弹簧常数,如以下公式所示:
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把这两个公式结合起来,看看会得到什么。
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来源:环球物理微信公众号(ID:GLOBAL-PHYSICS),原文来自:量子科学论。

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