拉格朗日法和欧拉法

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一、概念

1 拉格朗日法
拉格朗日法又称随体法和质点系法。它着眼于流体质点的运动，跟踪每一质点，观察并分析各质点的运动历程，记录质点在运动过程中各种物理量随所到位置和时间的变化规律，并把足够多质点的情况综合起来，从而了解整个流体运动的全貌。因此拉格朗日法是跟踪质点来描述它们的物理量。

2 欧拉法
在数学和计算机科学中，欧拉方法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉，是一种一阶数值方法，用以初值问题求解，是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法。

而在工程流体力学中，作为一种流体运动分析方法，欧拉法又称当地法、流场法和空间质点法。它着眼于流场中的某一空间点，研究流体质点通过该空间点的运动情况，空间点上的物理量，是指某时刻占据空间点的流体质点的物理量，不同时刻占据该空间点的流体质点不同。将流场中足够多空间点的运动情况综合起来，就得到整个流体的运动状况。因此欧拉法表示的是流体物理量在不同时刻的空间分布。

二、描述方法

1 拉格朗日法
通常取质点的初始位置（a,b,c）和时刻t作为流体质点的自变量，称作拉格朗日变量，则与该流体质点相对应的物理量B就是这些自变量的函数，其随时间变化的表达式为：

例如，如果B是流体质点的位移s，那么位移函数：

也就是该质点的轨迹。同理，该质点的位置坐标为：

速度为：

加速度为：

图样分析：

如图所示，A、B、C、D分别为所取的流体中任意四个质点，四条线段是质点在t1到t2的的时间段内的轨迹，根据拉格朗日法分析，可以得到每一个质点在确定时刻的运动状态。

优点：可直接运用固体力学中质点动力学进行分析。
缺点：虽然直观，但无法对成千上万的质点进行追踪；实际所关心的空间固定区域内物体与流体的作用；实验测量的也往往是固定点的参数。

2 欧拉法
在选定的时空坐标系中，时空坐标（x，y，z，t）是自变量，并称作欧拉变量，则当地的物理量B表示为欧拉变量的函数，即：

欧拉方法是一种场的描述法，在欧拉法中最重要的流体物理量是速度v和压强p，它们在时刻t的空间分布可分别表示为：

其中，速度多以向量来进行描述，即：

这是与拉格朗日法很不同的一点。

在实际应用中，由于大气中的气流可以近似看作流体，欧拉法广泛应于与气象预测中。在世界各地建立观测点（即确定的空间点），然后根据不同空间点同一时间的气象数据绘制气象图，就可以根据图做出天气预报。

注意：拉格朗日描述法和欧拉描述法在表达式形式上虽然相似，但其中的物理意义却大不相同，应用这两种方法时要注意区分。而在工程分析中，多采用欧拉法。

三、区别

1 含义上的区别
拉格朗日法又称随体法，跟随流体质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间的变化规律。

欧拉法又称为流场法，是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。

2 特性上的区别
拉格朗日法着眼于流体中各质点的运动，其基本特点是追踪流体质点，并把足够多的质点综合起来，得到整个流体运动的规律。

欧拉法着眼于流场中任一空间点，将流场中足够多空间点的运动情况综合起来，得整个流体运动状况（流场指被流体质点所占据的空间），其特点是单步。

3 作用上的区别
拉格朗日描述法跟踪质点全程，可以直接运用固体力学中质点动力学进行分析，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。

欧拉法是空间给定点随时间的变化规律，是简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉公式一般不用于实际运算。

可以理解为，拉格朗日描述法是你坐在一条鱼身上跟着他一起在水里游，你知道他从哪里出发往哪里去，也就是这条鱼全程的运动状态你是知道的；欧拉描述法就是你站在桥上看水里的鱼，不同时刻都是不同的鱼以不同的速度经过，你并不关心这些鱼从哪里来到哪里去。前者是一个质点的全程，后者是某一时刻全部质点。

总的来说，两种方法都能描述整个流体运动状况，只不过是从两个不同的角度进行的描述。

参考文献
[1]丁祖荣.流体力学.高等教育出版社,2013.
[2]张兆顺,崔桂香.流体力学.清华大学出版社,1998.
[3]胡敏良,吴雪如.流体力学.武汉理工大学出版社,2008.
[4]Frank M. White. Fluid Mechanics(FOURTH EDITION),McGraw-Hill,1999
[5]L. D. Landau. Fluid Mechanics(VOLUME SIX).Butterworth-Heinemann,1987.
[6]Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi. Fundamentals of Fluid Mechanics(FOURTH EDITION),2011.