最流行的“伯努利原理”，你真的懂吗？

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最流行的“伯努利原理”，虽然理论不是完美的，但并不妨碍我们使用原理来了解基础飞行原理和在民用航空上的应用。

飞行原理这本书里讲述升力产生的原因：

空气流到翼型前缘，分成上下两股，分别沿着翼型的上下表面流过，并在翼型后缘汇合并向后流去。在翼型的上表面，由于正迎角和翼面外凸的影响，流管收缩，流速增大，压力降低；而在翼型的下表面，气流受阻，流管扩张，流速减慢，压力增大。这样，翼型的上下表面出现压力差，总压力差在垂直于相对气流方向的分量就是升力。
书上用这么三句话把升力是如何产生的给解释了，当时读完后的感觉是，好像看懂了，好像又不懂。

什么是流管，又为什么会扩张和收缩，扩张了为什么压力会增大，这个压力又是什么压力，一系列的问号。

文章总共分了7个部分来讲述飞机的飞行原理，前3个部分主要是描述了飞机是怎样产生升力的。升力的产生先从空气的特性讲起，再到飞机怎样依靠空气升力，这样的讲述就很易懂了。

理想流体是什么

为了正儿八经的体现小编的水 (zhuang) 平 (bi)，我们先从理想流体说起，因为这是一切讨论的基础。

为了简化实际情况，升力原理都是在理想流体情况下讨论出来的，即流过机翼的空气我们都视为理想流体。那么，什么是理想流体？只要抓住两点：不可压缩、没有黏性的流体就是理想流体。

通常认知的空气是极易压缩，我们给自行车手动打气的时候就是先把空气压缩后再送入车胎内袋里的。这里可能有小伙伴就要问了，你不是说空气极易压缩么，为什么还可以将流过机翼的空气视为理想流体？

答案是，因为它可以视为理想流体呀！你敢说你这不是强行解释？然而这还真不是，伟大的先贤们早已经考虑过这个问题了，在一定条件下可以将空气看作理想气体。因空气密度小，较小的压力差也能使被压缩而密度增大的空气流到密度较小的地方，使密度迅速均匀且整体密度变化很小。这样把空气看作是不可压缩的，极大的降低了问题的复杂。

并且，先贤们总结出一个判断尺度——马赫数，用来界定是否可以视空气不可压缩。马赫数是当地流速与声速的比值，当马赫数的平方远远小于1时可以视气体不可压缩。一般的小型低速飞机的马赫数很小，其平方更小，可以视空气不可压缩。这样在讨论实际问题时，把空气看作是不可压缩的。

那么，黏性这个抽象的概念怎么理解呢？

黏性是针对流体运动时的一个概念，值得一提的是，流体流动时或多或少都会有黏性，常见的现象就是河流中心的水比岸边的流动较快，因为岸边有阻碍水流运动的作用。

我们在小学二年级的时候都知道，物质都是由原子或者分子组成，微观上组成流体的分子间的摩擦力会阻碍相对运动，在宏观上就称这种阻碍为流体的黏性。

所以，把握好不可压缩和没有黏性这两点，就可以理解什么是理想流体了。

流管是什么

研究和描述流体运动的两种方法，分别由拉格朗日 (J.L.Lagrange) 和欧拉 (L.Euler) 两位大神提出。

大神欧拉提出的方法更有效，应用广泛。他是这么想的，流体肯定是存在于空间之中，就只关注感兴趣的空间点，只研究流体微团流经这些空间时的速度，以及随时间推移的变化情况。

总结起来就是，把流速跟空间位置和时间联系起来，用公式表达则是：

考虑时间的变化，事情还是很复杂。能不能不考虑它呢？这当然可以，科学家总结出来的自然规律很多都是在简化了条件后的特殊情况下得到的。在公式里边，直接把t 去掉，变成：

这样一来，空间流场内的流速只与位置有关了，流管便可以保持不变，你在或不在，它就在那里。这种特殊情况，在流体力学里边就叫做定常流动，这种情况下才是真正的流管变成了固定管道。流体在流管中流动，其形状不产生变化；流管可以无限变细，最终变成流线，流体流动的轨迹就是流线。

流线流管都是人们想象出来的东西，为了帮助探索理解未知事物而发明的，正是有了流管这一概念，才更好的帮助我们得出自然规律。

这下就简单多了。比如，我只想研究机翼附近的空气流动情况，我只需要关注这一区域内空气流速随时间的变化情况就是了，不用去关注所有流过机翼的空气了。

连续性原理与伯努利方程

前面说了那么多，又是理想流体又是流管的，都是为了接下来的连续性原理作铺垫。

首先声明，现在讨论的都是理想流体的定常流动，就以水为例来说明连续性原理。取一截水管给它通水，假如水流速均匀的话，水管横截面积与流速的乘积就叫流量。

比如水管长为L，横截面积为S，在时间T 内匀速连续的有水从左端流到右端。那么，流量Q 就等于L·S /T，而L/T 就是水流速度V，即Q=V·S。

前面已经说过，定常流动下流管不会变化，理想流体不可压缩，水也只能在水管里流动，从左端流进多少就从右端流出多少，所以对这截水管的任意截面来说，其流量都是相同的，即V·S 等于一个常数，这就是连续性原理。

将上面讲的水管抽象一点，换成流管，通过连续性原理进一步认识流线。流管形状为两头细中间粗，条件不变，还是理想流体的定常流动，那么也满足连续性定理。在流管中间流线稀疏的地方，流管更粗，截面积更大，而流量是一定的，根据流量公式，流速也更小；反过来在两头流线密集处流速大。所以，流线的疏密反应了流速的高低。

这就是在学理论的时候，教员给我们讲的流线疏的地方流速小，流线密的地方流速大的由来。但是要记住这句话的前提是不可压缩的流体作定常流动，适用于速度较小的情况，比如学飞训练用的塞斯纳、钻石等低速飞机；而速度达到一个马赫附近或者是超音速战机时就不适用了，情况完全相反。

在连续性原理的基础上，结合功能原理就可以推出伯努利方程了。功能原理是这么说的：任何物体系统的机械能增量，等于外力对其做的总功和系统内非保守力做的总功的代数和。额，不得不吐槽这句话里每一个字都认识，但是连起来就不认识了。原因主要是有一些名词术语咱不懂，搞得很深奥，但其实只是一个纸老虎而已，接下来就用一个实际例子来解释这句话。

看上图，在这么一条流管内水不断的流动，在某一段时间内，有一团水从左流到右边。我们假想这团水它比较特别，可以和周围的水分开来看。它是如此的特别，所以受到周围的排挤，它前后两个面都要受到来自周围的压力P，并且这个压力垂直于前后两个面。就像游泳时在深水区站着，当水面没过脖子时肺呼吸变得更困难一样，这就是压力在排挤我们的身体，因为流体内部处处存在的压力。当把这团水单独来看的话，这两个压力就是外力了。

回到功能原理，一一对其中的名词术语进行解释。机械能的增量就是这团水从左往右流的过程中，动能和势能的变化量；说是增量，但是这个增指的是变化，意思是可能会增加，也可能会减少。外力做的功，刚才说了，就是前后两个面的压力在流动过程中做的功，具体为压力乘以从左到右的路径就是压力做的功。

最后就剩下系统内非保守力做的功了。要说非保守力，肯定就是保守力的反面。那么，保守力是什么呢？通俗点来说就是，力做功和路径无关，即随便你怎么走，只要始末位置一样，做功就一样。最常见的就是重力，只要始、末位置，即高度差不变，那么做的功就不变。

反过来讲，非保守力就是力做功和路径有关，也叫耗散力。最常见的摩擦力就属于非保守力，流体内由于黏性而产生的黏性力也属此列。黏性力也叫内摩擦力，前面讲过就是内部分子之间的摩擦力，它会阻碍流体分子间的相互流动；黏性力做功产生的影响之一就是引起流体升温，就是我们所说的摩擦生热。比如各种机械上的液压缸用久了，液压油会发热就是这么个道理，因为作为液压油必须要有一定的黏度。

这个黏性力这么复杂，还好我们不用考虑它，因为我们讨论的是理想流体，没有黏性，就只需要考虑其他三项就可以了。这样一来，结合上例，功能原理就变成了：这团水流动过程中，前后两个面上压力做的功等于它的动能和势能的变化。

接下来就把上面那句话变成公式。首先，外力做功稍稍复杂一点。水团流过流管时，因为是定常流动，流管不会变，那么前后两个面通过这段路程的同一个位置时，截面积相等，压强也相等，但是两个力P1 和P2 方向相反，所以在b-c这段路程两者做的功互相抵消，只需考虑P1 在a-b和P2 在c-d的功：

又由于水团的质量和体积不会变化，上面式子可以写成：

剩下的动能和势能变化就好办了。动能变化为：

势能变化为：

根据功能原理，外力做功等于动能和势能之和，再把V 约掉，就可以得到：

这两个位置是随意选取的，上面的式子对整个流管都适用，所以对同一流管的各不同截面有：

上面这个式子就是伯努利方程。式中，ρgh 代表了流体的重力势能，大多数问题里因为高度变化很小，如机翼的升力产生问题，这时候可以忽略此项；P 这一项是流体具有的压力能，叫做静压，如大气在静止时的压强；1/2ρV2 代表流体因为运动具有的能量，叫做动压，其大小等于当流体流速降到最低时静压增加的量。

所以，伯努利原理在某些情况下也可以表述为：动压与静压的总和，即总压保持不变。

伯努利原理的简单应用

了解了伯努利原理，机翼产生升力的原理就可以大致描述了。

这是机翼的剖面图，假设空气为理想气体并作定常流动。机翼附近的流线来自相当远处，大气各部分以相同速度作匀速直线运动，所以机翼上下的

相同，即

而机翼剖面由于特定的形状和较小的迎角，使得流过上、下面的空气流速不同，上部分的空气流速大流管细，下部分的空气流速小流管粗，即V上>V下；所以，P上<P下，机翼上下表面出现压差，这就是升力的来源。这种情况下，机翼上表面的压强小于周围大气压，成为负压；机翼下表面的压强大于周围大气压，负压产生吸力。负压最大处位于上表面前端部分，飞机速度越快，压差越大，吸力也越大，所以也可以说飞机是被吸上天的。

伯努利原理的另一个应用就是皮托管，用于测量气体流速。当然，在飞机上皮托管也称为空速管，测量空气流速就相当于测飞机速度。

气流从远方未受干扰的1处流过来，皮托管的开口（图中的2处）正对气流流动方向，开口3处平行于气流流动方向，这两个开口分别通向U形管压强计的两端。

用皮托管测流速相当于在流体内放置一个障碍物，流体将被迫分成两路绕过此物体。在物体前方流体开始分开的地方，在流线上流速等于零的一点，即皮托管的开口处2点，称为驻点。空间内各点的

相等，那么对于2和3两个地方来说，

其中，h 表示2和3两处相对于重力势能零点的高度，这两高度差很小，忽略不计，因此

皮托管比较小，可以认为对空气流速分布的影响很小，近似的认为3处的空气流速为欲测流速或者说飞机的速度，那么测出P2-P3 就可以计算出空气流速。当然，飞机上不是用U形管来测量压差，而是用真空膜盒来测量压差，通过真空膜盒直接带动机构来指示飞机空速。

来源：民航运行官微信公众号（ID：QianpaiShouji）