巧妙的力学求解方法 - 应力圆法

不可思议

今天我们介绍力学上一个有意思的求解方法：应力圆法。该方法是1882年由德国工程师克里斯蒂安O.莫尔（Christian Otto Mohr）在前人基础上通过对应力圆作进一步的研究而提出的一种借助应力圆确定任意一点的应力状态的几何方法。因此应力圆也被称之为莫尔圆（Mohr's circle）。

我们知道在对实际构件进行受力分析时，其受力状态可能非常复杂（除了拉压外，还可能有弯曲、扭转等），受力构件内截面上一点处往往既有正应力，又有切应力。这就需要研究某点各个不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在的截面方位。常规的解法是采用解析法。

我们取构件上的一单元体，如上图所示。各应力分量含义如下：σx 和σy 分别表示垂直于x轴和y轴侧面上的正应力；τxy第一个下标 x 表示切应力作用面的法线方向，第二个下标 y 表示切应力平行于y轴。τyx与之类似。根据切应力互等定理，τxy= τyx。应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。

这时在应力分量σx，σy，τxy和 τyx均已知的情况下，欲求与 z 轴平行的任意斜截面ef上的应力，根据力平衡方程，采用解析法可以得到如下结果。具体的推算过程就不罗列了，感兴趣的大家可以从网上找到计算过程。

不知道大家看到上面两个等式时，脑海里想到了什么。善于思考的德国工程师就发现了这其中的奥秘，将上两式稍微变换一下：

然后再两边平方相加，得到：

是不是一下子清晰多了？这不就是个圆的方程？没错，一条新的求解大道就这么开启了。既然公式都有了，索性来个图吧。

相信画这个圆应该不是多难的一个问题，我们可以首先定出根据x平面和y平面上的应力定出两点 Dx (σx,τxy ) 和 Dy (σy,τyx) ，然后用直线连接Dx, Dy 两点，其连线与横坐标轴相交于 C 点，以 C 点为圆心，CDx 或CDy 为半 径作圆，就得到了我们的应力圆。

这里大家注意应力圆上的点与单元体上的截面之间有如下对应关系：

  · 点面对应——应力圆上某点的坐标对应单元体某斜截面上的正应力与切应力。
  · 转向一致——应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变；
  · 对应地，单元体上斜截面的法线也沿相同方向旋转，斜截面上的应力随之而变。
  · 倍角关系——应力圆上半径转过的角度，为斜截面外法线旋转角度的 2 倍。
  · 同一基准——利用应力圆与单元体的转向对应关系旋转时，其起始基准位置也应当点面对应。

应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下，任意斜截面上应力随截面方位角变化的规 律以及一点处应力状态的特征。因此可以利用应力圆来进行一点处的应力状态分析。利用图形去求解应力是不是比用解析法方便很多？

上面讲到的是平面应力状态下的情况，如果是空间应力状态下，那应当如何作应力圆呢？当受力物体内某一点处的 3 个主应力σ1，σ2 和σ3均已知时，如下图。我们可以将这种空间应力状态分解为3种平面应力状态，分析平行于3 个主应力的3组特殊方向面上的应力。

现研究平行于σ3 的各个截面上的应 力。设想用平行于σ3 的任意截面将单元体切开，任取其中一部分来研究，其垂直于σ3的平面面积相等，且应力相同，故作用力相互平衡，不会在斜截面上产生应力。即平行于σ3截面上的应力与σ3无关，只取决于σ1 和σ2，相当于二向应力状态。因此，对平行于σ3 截面上的应力，可由σ1和σ2所确定的应力圆上的点的坐标来表示。同理，平行于σ2截面上的应力，可由σ1和σ3所确定的应力圆上的点的坐标来表示。平行于σ1截面上的应力，可由σ2和σ3所确定的应力圆上的点的坐标来表示。进一步的研究证明，表示与3个主应力都不平行的任意斜截面上应力的D点，必位于上述 3 个应力圆所围成的阴影区域内，如下图所示。

从图中可见，最大和最小正应力及最大切应力分别为：

OK，了解了应力圆之后，是不是打开了你的思路？你能否也能在工作和生活中另辟蹊径找到一条更便捷的方法？当你掌握了这种方法后，不妨我们来思考两个问题：

  · 为什么低碳钢试样拉伸至屈服时，表面会出现与轴线成 45°角的滑移线？引起破坏的是正应力还是切应力？

  · 为什么铸铁圆试样扭转时，为什么沿 45°螺旋面断开？引起破坏的是正应力还是切应力？