流体力学的时空演绎

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有天晚上，卢比和钢蛋躺在空旷的草原上数星星。望着广袤无边的天际，钢蛋不禁学起康德，感叹道：“世界上唯有两样东西深深震撼我们的心灵：一个是我们头顶璀璨的星空，另一个是我们内心崇高的道德准则…”没等钢蛋讲完，卢比就忍不住嘲笑道：“打住，快下雨了，还是赶紧回去研究地球湍流吧。”说完两人便溜回了家，只留下被乌云逐渐淹没的天空…

01、故事的引子——时空尺度的演绎
千百年来，人类活动使得地球上产生了沧海桑田的变化。荒野退却，高楼林立，人类看似无所不能。不过细想而来，人类改变的也仅仅是地球表面如蛋壳般薄薄的一层，面对地球内部的滚滚熔岩，人类也只能望而兴叹。而距离地球1.5亿公里之外，已经45.7亿岁的太阳相对于人类来说，更像是“永恒”的存在。

地球和太阳的时空尺度都远远大于人类，亿万年前它们便已形成，其运行规律也由此慢慢演化。对于今天的人类，即便是用尽所有的力量，对它们的影响也仅仅是隔靴搔痒。

如果继续放大尺度，便是我们肉眼可见的满天繁星，绝大多数仅仅位于银河系内距离太阳不超过1500光年的空间范围内。在没有望远镜的时代，人们把这些星星投影在想象中的“天球”之上，然后绘制了八十八个星座，并将其定义为天空的标识。不过，地球人眼中的“天球”在银河系中也只是一个小圆点，而人们放眼望去，银河系明亮的“银盘”则成为天球上一条朦胧的色带，并由此催生了许多浪漫故事。

科技的发展进一步拓宽了人们的视野，人们极力探索更遥远的空间，并发现了星系和星系群。对于时空尺度更大的拉尼亚凯亚超星系团、宇宙网，则统统淹没于宇宙微波背景辐射中，成为人们可观测的宇宙边界。而我们的宇宙外面是什么，是否有多元宇宙，那里的空间特征是怎样的，时间又是否存在，这些早已超出人类认知的极限。

人类的尺度之上有宇宙星辰，向下则有同样神奇的微观世界。从人体的各种组织到细胞，再向下还有分子、原子以及各种基本粒子。而基本粒子小到连电磁波都会严重干扰到其运动的状态，因此无法被准确测量并描述，于是人们发明了量子场论来描述其特性，并拓展为我们所了解的量子力学。

基本粒子又是由什么构成的呢，能否继续分割？没有人知道，为了解释一些未知的现象，人们又提出了弦理论假说，正如小提琴的琴弦振动可以产生高低不同的声音，人们把基本粒子化解为弦的不同振动状态。时空尺度向下延伸到无限小，似乎也没有尽头…

02、流体力学的时空尺度
人们从对宇宙万物的认识中不断拓宽物理学的边界，从原子核到可观测的宇宙边界，尺度跨越了约41个数量级。而我们所学习和理解的流体力学，便是这时空尺度中的一小截。

如果同样用尺度的观点看待我们研究的流体力学，大致可以分为三个层级：最下层是微观粒子的运动，每个粒子都被当作独立的个体；然后是介观层级（如LBM），这一层抛开了粒子个体的信息，只研究粒子运动的统计属性；最上面一层则是我们最熟悉的经典流体力学，这一层将流体假定为连续介质，粒子的基本运动不复存在，物质的宏观特性成为了关注的内容。

对于这三种流体尺度，自下往上，量子空间的微观粒子穿越了不同层级的时空，不断丢弃个体特质而保留群体属性。其运动的自由度被抽丝剥茧，只留下统计平均后的状态。在此过程中，流体粒子的运动越来越被抽象化，化为脚下的流水和迎面的风，变成我们这些大尺度的生物所感知到的物理状态。而接下来，便是我们眼中的流体力学的时空演绎故事。

03、微观尺度的经典和量子描述
当我们来到流体力学中最小的时空尺度下细细观察会发现，所有的空气分子都在进行杂乱无章的运动。而这些分子运动的微观状态有两种描述方式，分别是经典描述和量子描述。

  · 在经典描述中，人们把经典力学的物理规律应用到微观粒子，每个粒子的微观状态可以连续变化，比如从A点运动到B点是连续的。

  · 在量子描述中，粒子的微观状态为一些量子态，其微观力学量也不再是连续的，而是量子化的，粒子不再是台球，而是嗡嗡跳跃的概率云，它们不只存在一个位置，从A点运动到B点也不再是单一的路径。

不过就像呼吸的空气一样，我们日常研究的流体通常是大量粒子的集合。而波尔对应原理告诉我们：在原子范畴内的现象与宏观范围内的现象可以遵循各自范围的规律，当把微观范围内的规律延伸到宏观范围时，其数值结果应该与宏观规律所得到的相一致。也就是说，当研究对象足够大时，其量子效应将退化为经典力学的描述，比如下图所示的大量粒子的运动。

在上述运动中，粒子重新变为台球，并回归到经典描述。就空气而言，分子的周围是空旷的，分子本身的体积很小，因此在空气分子杂乱无章的运动中，大部分的时间分子都在自由运动，只是偶尔发生了碰撞。碰撞时间等于分子大小和热运动速度之比，根据热力学的知识，这个微妙的碰撞时间大约为10-13这个量级。

04、介观尺度的粒子与统计力学
如果专注在分子运动的微小时空中，由于分子之间的引力和斥力，以及多原子分子本身还会有旋转和振动等自由度，碰撞过程比台球碰撞要复杂得多。但是，如果上升到了介观尺度，这些细节都将被统计所忽略。

在玻尔兹曼所描述的动力学中，由于两次碰撞的时间间隔远大于碰撞时间本身，碰撞时间也就忽略不计。碰撞间隔时间等于分子运动的平均自由程和热运动速度之比，该尺度远大于碰撞时间，因而在碰撞间隔的时间内，由大量分子碰撞后所产生的“局部平衡态”便诞生了，动力学理论也由此开宗立派。

不过我们要当心的是，局部平衡和全局平衡是两码事。比如我们站在阳光明媚的室外，感受不到周身的气流有明显的变化，但隔壁城市可能正处在风雨交加的环境中。而局部平衡（准平衡）的状态在人们所接触的流体力学问题中，恰好占据了绝大多数。

平衡态可以说是气体动理论的基石。19世纪中期，气体动理论的主要奠基人克劳修斯 (Clausius)、麦克斯韦 (Maxwell) 和玻尔兹曼 (Boltzmann) 三人相继引进了统计概念，将宏观理论和微观基础联系了起来。此时，描述介观尺度下气体粒子状态还需要进行各种假设，比如碰撞只发生在两个粒子之间，而且是完全的弹性碰撞等等。因此，对于稠密的流体，则需要构建特殊的数学模型。

1902年，吉布斯 (Gibbs) 把麦克斯韦和玻尔兹曼所创立的统计方法发展为系综理论 (Ensemble Theory)，使原来仅适用于气体的理论推广到液体和固体，发展为今天的统计力学，而今天在流体计算领域逐渐流行起来的格子玻尔兹曼方法 (LBM) 便来源于此。

05、宏观尺度的连续流体力学
如果说统计物理是一座连接宏观和微观的桥梁，那么对于流体力学来说，桥梁的一头是离散的微观粒子，另一头便是基于连续介质假定的经典流体力学。而努森数 (Kn) 则是这座桥梁的铭牌，它定义为分子平均自由程和宏观物理尺度的比值，代表了流体的连续程度。

从努森数的定义可知，努森数越大，意味着物理尺度和分子平均自由程越接近，分子的离散效应越强，分子之间复杂的作用力越重要；反之，当努森数很小时，意味着物理尺度远远大于分子自由程，分子内部的相互作用开始被忽略，而宏观流体的密度、速度、温度和压力等参量开始被关注，于是便成就了我们在书本里学到的经典流体力学。

经典流体力学刻画的是人类生活和生产的时空尺度，其中最典型的代表便是描述流体运动的N-S方程。从欧拉的无粘运动方程开始，经过纳维关于粘性的思考和柯西的张量思维，斯托克斯在1845年完成了N-S方程的推导，通过运动方程直接描述宏观层面的流体运动。随后，N-S方程历经百年的发展和迭代，通过计算流体力学 (CFD) 的方式融入到了各行各业的工程应用中。

06、尺度之外的流体力学
流体力学源于人们对地球生活的认知，可是在人类生活的地球之外仍有更加广袤的时空尺度，许多人将星系与流体力学联系起来，那么星系尺度下的流体力学又是如何演绎的呢？

下图所示的银河系犹如一个旋转的漩涡，为了保持相对稳定，整个星系的旋转角速度应该相同。但持续的观测表明，星系外侧的旋转角速度要小于内侧，那么随着时空的推演，整个星系将会像发条一样被“拧紧”，久而久之旋涡星系将不复存在。

1942年，荷兰天文学家林德布拉德看到一群海鸥掠过湖面，激起了无数涟漪。灵光闪念之间，著名的星系旋臂结构形成的假说——“密度波理论”就诞生了。林德布拉德认为，如果把星系比作流体而不是刚体，把星系里的无数恒星比作旋涡运动的流体分子，那么旋臂结构则被认为是一种流体波，即密度波。在运动过程中，恒星将由内向外，先进入旋臂，然后再走出，因此便不会出现发条“拧紧”的纠缠悖论。

林家翘在讲解密度波理论

在数学上推演密度波理论的正是我国著名的流体力学家林家翘。1964年，林家翘凭借着自己在数学上深厚的功底，和自己的学生徐遐生一起经过艰苦的计算，完善了星系形成的密度波理论。

而在密度波理论的创建过程中，林家翘还发现，密度波与湍流存在某种规律的相似性。这意味着，长达几万、十几万光年的旋臂，可能与地球上随处可见的水和空气有着类似的运动规律。事实上，科学家们也常常用计算流体力学的方法模拟星体演化，而大家熟悉的光滑粒子法 (SPH) 便起源于天体物理。

结语：流体力学的时空演绎从微观到宏观，再到遥远的星系，覆盖了浩瀚的时空尺度。但是流体力学的科学研究至今也不过数百年，在宇宙的时空中可谓沧海一粟。那么，未来流体力学又会拓展到怎样的时空尺度呢，让我们拭目以待吧。

来源：LBM与流体力学微信公众号（ID：LBMCFD），作者：卢比与钢蛋。