关于流体力学的“那块砖”

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伟大领袖曾经说过：“我是革命一块砖，哪里需要往哪搬；我是发展一只花，哪里能开往哪插。”而作为打工人的我们也常常自我调侃，自己就是公司的一块砖，哪里需要哪里搬。而回首流体力学的“那块砖”，大概非伯努利方程莫属了。

毕业多年的小伙伴再次回顾起流体力学，能够记得的内容或许已经不多，但是其中一定有伯努利方程，而平时的工作中，如果涉及到流体的问题时，小伙伴们也最喜欢用伯努利方程来解释压力和速度之间变化关系。虽然伯努利方程如同一块任劳任怨的“砖头”，随便小伙伴们搬弄，可是伯努利方程也有自己的个性，并非放之四海而皆准的，所以不小心可能会搬了砖头砸了脚哦。

开挂的伯努利家族

在之前的文章中，我们介绍过很多著名科学家的生平，而提起伯努利，却不得不提他背后的家族，因为“他不是一个人在战斗，他的背后是整个伯努利家族，和整个家族的传承。” 在科学史上，有很多父子科学家或者兄弟科学家，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的却极为罕见，而伯努利家族就是其中最为突出的代表。

老尼古拉·伯努利
老尼古拉·伯努利 (Nicolaus Bernoulli) 生于瑞士的巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。作为官二代，老尼古拉的长子雅各布和小儿子约翰都成为了著名的数学家，二儿子小尼古拉也是彼得堡科学院数学界的一员。

雅各布·伯努利
老尼古拉的长子雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli) 于1654年生于瑞士巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，他遵从父亲的想法，于1671年和1676年分别获得艺术和神学的硕士学位。然而，天生为数学而生的雅各布还是偷偷违背了父亲的意愿，自学了数学和天文学。并且，雅各布在1678年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。与雅各布的名字相关的数学成果很多，如曲率半径公式、伯努利双纽线及伯努利微分方程等。不过，雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成富有创造性的巨著《猜度术》，下次去澳门的时候一定要带上这本书哦。

约翰·伯努利
约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 于1667年8月6日生于瑞士巴塞尔，比哥哥小13岁，同样就读于巴塞尔大学的约翰于1685年艺术硕士学位，不过父亲老尼古拉希望小儿子约翰去学经商。但约翰在雅各布的带领下进行反抗，去学习医学和古典文学。约翰于1690年和1694年分别获医学硕士和博士学位。不过，闹心的是，约翰发现自己骨子里的兴趣还是数学。获得医学博士的第二年，年仅28岁的约翰取得了他的第一个学术职位——荷兰格罗宁根大学数学教授。10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授。

约翰的数学成果很多，包括洛必达法则、求积分的变量替换法及弦振动问题等等。而约翰的另一大功绩便是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔·伯努利，也就是本文的主角，提出伯努利原理的那个伯努利。当我们还在感慨自己是“拼爹时代的卢瑟”的时候，约翰已然是“拼爹”、“拼自己”以及“拼儿子”时代的顶级温拿。

伯努利中的伯努利

丹尼尔·伯努利
作为约翰·伯努利的二儿子，丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli) 在科学领域取得了非常杰出的成就，成为世界顶尖的物理学家和数学家，号称“伯努利中的伯努利”。丹尼尔于1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。有趣的是，丹尼尔的父亲也希望他能够经商，果然曾经屠龙的少年最后都变成了恶龙。不过好在丹尼尔还是遵从自己的意愿，坚持学医，并于1721年取得医学博士学位。不过，丹尼尔也一直坚持着自己对数学的热爱。看看这是多么纠结的一家子。

得益于家族的熏陶和天才的基因，丹尼尔很早就在数学领域崭露头角，丹尼尔在25岁时受聘为圣彼得堡科学院的数学会士。两年后，丹尼尔一生的挚友，欧拉也来到了圣彼得堡，并成为了丹尼尔的助手，两个人联合提出的Euler – Bernoulli梁理论迄今为止仍然是工程领域最经典的梁理论。丹尼尔于8年后回到瑞士的巴塞尔，先后担任解剖学和动力学教授，1750年又成为物理学教授。伯努利一生曾十次荣获法国科学院的年度奖。1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。

丹尼尔的研究领域非常广泛。他出版过经典著作《流体动力学》、研究弹性弦的横向振动问题，提出声音在空气中的传播规律。他的论著还涉及天文学、电磁学、振动理论、船体航行的稳定及生理学等等。

什么是伯努利原理

在丹尼尔·伯努利的经典著作《流体动力学》中，伯努利原理指出，流体速度的增加与静压的降低或流体势能的降低同时发生，相信大家对于这句描述能量守恒的话早已耳熟能详，甚至在工作中反复的使用。然而在书中，伯努利并未给出详细的方程，直到14年以后，丹尼尔一生的挚友——欧拉才给出通用形式的伯努利方程。看来行走江湖也并非一定要单打独斗，有个可以依托的搭档也不错哦。

回到伯努利方程的推导，当然从我们现在的角度看上去，肯定是非常简单的。如果从能量守恒的角度来看，在稳定流动中，沿着流线的流体中所有形式的能量之和是守恒的。这就要求动能、势能和压力能的总和保持恒定。下图给出了伯努利方程的具体公式，单位体积的能量（压力、动能和重力势能）在各处都是相同的。

如果说欧拉是伯努利的黄金搭档，那么描述流体质量守恒的连续性方程就是伯努利方程的好基友。如上图所示，连续性方程告诉我们，当流体从截面1流到截面2时，通道面积减小，流速增加，而伯努利方程又进一步的告诉我们，流速增加，导致截面2的压力会低于截面1。这个过程大概是我们在工作中最常用的流体分析流程了。

上述的分析过程没有问题，可是小伙伴却忘记了一个重要的问题，伯努利原理并非放之四海而皆准，它也有自己的适用范围。伯努利原理仅适用于等熵流动，即没有其他能量的输入或者输出，能量只能内卷。那么问题来了，绝对等熵的流动实际上是并不存在的，为啥伯努利还成为了流体力学最好使的“那块砖”呢？

伯努利原理的正确打开方式

尽管严格意义上的伯努利方程只适合于等熵流动，但是，对于工程实际中的很多高雷诺数管路流动来说，在相对较短的流动过程中，其流动的不可逆性（比如湍流的影响），非绝热性（比如热传导或辐射）的影响并不是很大，我们仍然可以使用伯努利方程来分析沿程的速度和压力的变化。

而关于伯努利原理最经典的工程应用非皮托管和文丘里测速管莫属。广义的皮托管是一种用于测量流体流速的设备，又称风速管，最早由法国工程师亨利·皮托 (Henri Pitot) 于18世纪初发明，不过皮托最早发明的皮托管只能用于测量气流总压，又名总压管。

到了19世纪中叶，法国科学家亨利·达西 (Henry Darcy) 将皮托管修改为现代形式，同时测量总压和静压，才成为真正意义上的风速管，但习惯上仍然把风速管称作皮托管。改进后的皮托管被广泛用于测量飞机、船舶的速度，以及某些工业领域中流体的流速。

而同样依赖于伯努利方程和连续性方程的文丘里流量计则是另外一种常用的测量有压管道流量的装置，属压差式流量计，常用于测量空气、天然气、煤气、水等流体的流量。它包括“收缩段”、“喉道”和“扩散段”3部分，安装在需要测定流量的管道上，如下图所示，根据收缩段和喉道之间的压差便可计算出管路的速度。但是，考虑到1、2截面之间的能量损失以及截面上流速分布不均匀的影响，通常还要乘上一个修正系数。该修正系数由实验测定，通常在0.95~0.99之间。

工程中关于伯努利原理的使用数不胜数，但是有些却是明显的误用。有趣的是，很多时候明明错误的使用了伯努利原理，却得到了正确的结果，最著名的大概就是机翼升力的解释。当然，多数情况下，伯努利原理的误用还是会导致错误的答案。

来源：LBM与流体力学微信公众号（ID：LBMCFD），作者：卢比与钢蛋。