机械钟：永不停息的自激振动

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一、古人如何计时

多少世纪以来，时间的测量始终是人类面对的一个难题。要测量时间，首先要寻找一种不断重复而且每次持续时间都恒定不变的运动过程作为时间量度的基准。古人最先想到的是太阳在天幕上的运动。日出日落，周而复始，投射在地面的光影随太阳位置的变化而规则地移动。这种最古老和使用时间最长的计时方法在中国古代称为日晷。根据史料记载“乃定东西，主晷仪，下刻漏”《汉书·律历志·制汉历》，这是我国关于日晷最早的文字资料。

日晷由铜制的晷针和石制的晷面组成。晷针垂直穿过晷面中心，与地球极轴平行。在阳光照射下，晷针投向晷面的阴影由西向东缓慢移动。在晷面上刻画12个大格，每个大格代表一个时辰，也就是两个小时（图1）。

图1 古老的日晷

日晷的致命缺点是只能在有日光时使用，于是出现了“漏刻计时”方法。利用水或细沙在特定器物中流动速度大致恒定的现象作为时间的量度。据记载“漏刻之作盖肇于轩辕之日，宣乎夏商之代”《梁代·漏刻经》，可见也是非常古老的方法。现藏于国家博物馆的实物是元延祐三年 (1316年) 制造的铜壶滴漏。漏刻计时利用水滴使水从最上方铜壶的小洞流出，依次注入下方铜壶，根据最下方受水壶的水面上的“浮箭”指示的水面高度作为时间的量度 (图2)。唐代诗人罗隐诗云“铜壶漏报天将晓，惆怅佳期又一年” 《罗隐·七夕》。

图2 铜壶滴漏

西方用细沙代替铜壶滴漏的水发明的“沙漏”约出现于12世纪，是由两个玻璃容器和一个狭窄的通道组成的器具 (图3)。上部容器内的沙子流尽后，将沙漏颠倒过来就能继续量测时间。这种沙漏的独特形状现已成为电脑屏幕上表示 “等待” 的通用符号。

图3 沙漏

二、机械钟的发展历程

机械轮受相同强度冲击后的转动速度大致恒定。利用此力学现象作为时间量度的计时方法就是机械钟。中国是机械钟的发源地。东汉张衡制造的浑天仪就是利用水漏驱动机械轮旋转的最早的机械钟。1086年，宋朝苏颂与韩公廉设计制造的水运仪象台是更精密的机械钟 (图4)。其计时方法也是以水为动力驱动，称为“枢轮”的机械轮(图5)。据苏颂本人的说明“以水激轮，轮转而仪象皆动”《苏颂•新仪象法要》。

图4 苏颂（1120-1201）

图5 水运仪象台

枢轮载有36个受水壶。当受水壶到达指定位置时，利用杠杆装置将枢轮锁定，令受水壶倾斜。水从平水壶注入受水壶，充满后枢轮松开。充满水的受水壶的重力推动枢轮转动一个轮辐，作为计时的量度，通过几组齿轮传输给计时仪器和天文仪器，使其按预定规律运转。壶中的剩余水注入退水壶 (图6)。

图6 水运仪象台的擒纵机构

苏颂将上述杠杆装置称为“天衡”，是发明最早的擒纵机构，在机械钟的发展历程中，擒纵机构起非常关键的作用。李约瑟在《中国科学技术史》中将水运仪象台称为“欧洲中世纪天文钟的直接祖先”，并申明：“关于钟表装置是14世纪早期欧洲发明的说法是错误的。许多世纪之前，在中国就已有了装有另一种擒纵器的水力传动机械时钟”。

欧洲早期的机械钟也是利用机械轮的转动作为计时标准，以绳索悬挂的重锤的势能作为能量来源。重锤拉动转轮单方向转动，并通过齿轮带动擒纵轮转动。擒纵轮上的凸齿与机轴周期性相遇且施加冲击驱使机轴转动。每次碰撞方向与前次相反，使机轴带动王冠形飞轮往复摆动。每次摆动的持续时间大致恒定，作为计时的量度（图7）。

图7 14世纪的欧洲机械钟

采用这种机构制造的钟楼于1364年最先在意大利的教堂问世，以后陆续出现在英国和法国。1459年法国的钟匠用发条代替重锤，制作了第一个发条钟。这种早期机械钟在欧洲使用长达200年。直至1598年伽利略发现了摆的等时性，人们才意识到重锤的摆动是比转轮的转动更为恒定的周期运动，萌发了用钟摆代替转轮制造更精确机械钟的思想。但要使摆钟成为现实，必须解决两个关键问题。

首先，无论制造工艺如何改进，总不可避免轴承摩擦和摆动过程中的风阻等阻尼因素存在。若无能量补充，摆的自由振动必不断衰减直至静止不动。要使摆的运动持续不断，必需有恒定的能源，还要有调节能量分配的擒纵机构，才能维持稳定的自激振动。利用水力、重锤或发条补充能量的方法已成功使用了数百年。要用于摆钟，必须设计适合摆钟特点的擒纵机构。

第二个问题是摆的等时性并非完全准确。摆动的幅度增大时，周期就会随振幅改变。1656年，荷兰物理学家惠更斯 (Huygens,C.) 首先发现这个问题，并提出了解决方法。他设计了真正具有等时性的摆钟，称为惠更斯钟。

以下分别对这两个关键问题作详细说明。

三、机械钟的擒纵机构

机械钟是典型的自激振动系统，水力、重锤或发条都是恒定的能源。各种擒纵机构周期性地从能源取出能量提供给转轮或钟摆，以克服摆轴摩擦等阻尼因素引起的能量耗散。我国古代水运仪象台的天衡是发明最早的擒纵机构。

欧洲早期的机械钟利用擒纵轮控制转轮的运动。其控制过程犹如儿童游乐场的跷跷板。板的左侧触地时，小孩蹬地使板转动。在坐标 x 和速度 y 组成的相平面 (x,y) 内，此过程以A点至B点的相轨迹表示。由于存在干摩擦，AB相轨迹为稍向下倾斜的直线。在B点处右侧触地，对方小孩蹬地使板的速度突变，相点平行 y 轴从B点移至B。板朝反方向转动至左侧触地，相点沿向上倾斜的直线移至A՜点。小孩再次蹬地使速度突变至A点。如此不断反复，构成封闭的极限环（图8）。

图8 转轮控制机械钟的极限环

为摆钟设计的擒纵机构由擒纵轮和擒纵叉组成，擒纵轮与重锤连接，擒纵叉与钟摆连接 (图9)。重锤在确定位置处通过擒纵轮对擒纵叉产生冲击。擒纵机构的巧妙之处在于，无论摆朝哪个方向运动，冲击方向总是与运动方向一致。重锤就能以不断对摆作正功的方式，将蕴藏的能量传递给摆，钟摆才能维持等辐运动。

图9 擒纵机构

摆钟自激振动形成极限环的过程与上述转轮十分类似。区别仅在于，由A点至B点的运动并非因碰撞引起，而是因重力产生的摆动。在摆动角x=-α处，图8所示的擒纵机构对钟摆沿运动方向施加冲击，使钟摆的速度突然增加，相点从A՜点突变至A。接着单摆在重力作用下作自由振动。考虑有摩擦存在，从A至B的相轨迹是圆心朝一侧偏置的椭圆弧。在x=α的B点处，擒纵机构沿运动方向对钟摆施加冲击，以抵消摩擦引起的减速，相点从B点突变至B՜。如此重复不断，所形成的极限环如图10所示。

图10 摆钟的极限环

极限环的稳定性可利用能量方法判断。将擒纵器每次冲击的输入能量视为常值，轴承内的干摩擦力在每个往复运动中耗散的能量与摆动幅度成正比。在图11中作输入能量与耗散能量随运动幅度的变化曲线，二曲线的交点处输入和输出的能量平衡，钟摆维持等辐振动。在交点左侧，输入能大于耗散能，振幅增大。在交点右侧则相反，输入能小于耗散能，振幅减小。两种情况均向曲线的交点趋近，形成稳定的自激振动。

图11 机械钟的能量－振幅关系曲线

四、摆钟等时性问题

17世纪荷兰的物理学家、天文学家和数学家惠更斯，是继伽利略之后对认识摆的运动规律有重大贡献的另一人（图12）。惠更斯于1629年出生于荷兰海牙，他在 力学、光学、天文学和数学等学科都有重大贡献。正是他最早发现并解决了摆的等时性问题。

图12 惠更斯 (Christian Huygens, 1629-1695)

1656年，惠更斯发现伽利略的摆等时性现象仅适合于小角度摆动。当摆动角增大到一定程度时，单摆的周期就不再是常值，而是随振幅的变化而改变。根据理论分析，如单摆的转角为φ，重力的恢复力矩取决于摆长l 与sinφ 的乘积。单摆的线性振动理论将sinφ 以φ 近似代替，导出的单摆周期为常值T=2π(l/g)1/2，据此得出等时性的结论。但随着φ 的增长，φ 大于sinφ 的偏离愈来愈明显。要使单摆在大角度偏转时也具有等时性，若能令摆长l 随着φ 的增大而缩短，则lφ 应更接近于lsinφ。按照这个思路，惠更斯设计出了变摆长的等时性单摆，称为惠更斯摆。

惠更斯摆与普通单摆不受约束的自由摆动不同，在单摆的两侧增加了按特殊曲线设计的约束器。随着摆动角的变化，柔软的悬索在不同部位与约束器的边缘接触而改变悬索的自由长度。摆角愈大悬索的自由长度就愈小（图13）。利用以摆的支O 为原点的直角坐标系 (O-xy)，约束器边缘的曲线用以θ 为参变量的方程表达为

此方程在图12中所表示的边缘曲线，就是半径为R 的圆沿 x 轴滚动时，圆上与O 点重合的点所画出的曲线，称为圆滚线。由于和惠更斯摆产生了联系，所以也称为摆线。惠更斯摆对于摆的任何偏角均具有严格的等时性。

图13 摆线

解决了上述关键问题，惠更斯于1656年完成最早的摆钟设计。第二年他指导年轻的钟匠考默 (Comer, S.) 制造成功第一只真正的摆钟 (图14)。惠更斯钟的摆动周期约为1秒，振幅为20°。走时误差每昼夜不到15秒。而在此之前的机械钟误差高达每昼夜15分钟，精度提高了60多倍。

图14 惠更斯设计的摆钟 (I.侧视图，II.惠更斯摆，III.正视图)

五、摆钟的同步现象

1665年，惠更斯为远航船舶设计了航海用的计时钟。航海钟由固定在木制支架上完全相同的两只惠更斯钟组成（图15）。多余的一只钟作为备用，以便另一只钟出现故障时不影响计时。1669年，惠更斯偶然发现他的航海钟出现了异乎寻常的同步现象。表现为两只惠更斯摆的频率逐渐变得完全相同，且保持180°相位差互为反相。如人为将同步现象搞乱，不出半小时这种同步现象又重新恢复。将两只钟的距离增大到一定程度或将两只钟互相垂直安放，同步现象即消失。

图15 惠更斯钟的反相同步现象

惠更斯起先怀疑是否空气流起了力的传递作用，后来认为可能支承两只钟的木支架使两只钟的振动产生了耦合。限于当时的数学发展水平，他未能从理论上作出严格论证。数百年来，不少科学家企图破解惠更斯摆的谜团。1906年，考特威格 (Korteweg) 考虑支架在钟摆影响下的运动，建立三自由度线性系统模型作了分析，初步证实同步现象来自钟摆与支架运动的耦合。1988年，布列克曼 (Blekhman) 的分析考虑了摆动过程中能量的输入和输出，更接近惠更斯摆的实际情况。他的分析证明，同步现象取决于支架质量与总体质量之比的参数μ=m0/(m0+2m)。其中，m0 和m 分别为支架和钟摆的质量。当μ 大到一定程度时，即出现惠更斯摆发现的反相同步现象。

关于惠更斯钟同步问题的理论研究至今尚在继续。同步现象和同步技术是非线性动力学研究的重要问题之一，在物理学、脑生理学、通讯技术、电子技术等许多科学领域里都具有实际意义。在计时技术方面，如何利用一个频率高度稳定的石英振子，使一个机械振子与它同步而构成石英钟就是同步技术的具体应用。

(改写自：刘延柱. 趣味振动力学，第5章. 高等教育出版社，2012)

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。