我所认知的“频带参数”进阶篇：能量平衡

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使用“频带参数”二十多年了，一直想聊聊这个话题，把事情讲清晰讲透彻。原本以为简单整理一下就能动笔，却发现头绪越来越多，需要照顾方方面面。终于下定决心，提笔落字。

“频带参数”来自“频带”这个概念；而“频带”概念来自于“频谱”。这一篇，我们来摆一哈“频谱”，获得不一样的理解。

进阶篇：能量平衡

“傅里叶变换”将“时域波形”转换成为“频谱”。根据信号是连续的还是离散的、周期的还是非周期的，分为四大类。

振动信号的采集方式和数据特性，决定其采用离散式的、有限或周期性的处理方法（DFT）。“快速傅里叶变换”算法（FFT）能大大降低DFT的计算复杂度，提高计算速度。所以，不知不觉间，振动检测领域把算法名称FFT当成了“傅里叶变换”的代名词。

01、概念梳理

“时域波形”指横坐标为时间，纵坐标为振动值大小的图形，反映在一段时间内振动值的变化。

“频谱”实际分为“幅值谱”和“相位谱”，这两种谱图的横坐标为频率，纵坐标分别为“幅值”和“相位”。通常我们说看看频谱，指的就是“幅值谱”。

日常较少使用“相位谱”，其最大的问题是缺少基准。由于“时域波形”可以用任意一段波形转换成为“频谱”，所以，“相位谱”上每个频率针对的相位，取决于这段波形的起点，起点不同，相位就不同。有些振动采集系统会增加“触发”信号，以此固定波形起点，从而使得“相位”固定下来。这时的“相位”就有了明确意义，并且可以进行趋势分析。

无论使用何种计算机语言，都比较容易找到相对应的FFT计算库函数。公式推导本人已经还给教授了，别来问我，我搞不定。

振动分析和故障诊断使用的是“幅值谱”中的“单边谱”，这是因为振动信号经过“傅里叶变换”后，谱图是某种形式对称的，可以进行折叠。这一点，在后文的举例中，可以获得直观的映像。

文章中将出现一些公式，方便理解和核验。

02、能量平衡

为把问题表达清楚，我们用一个尽量简化的模型。假设一个序列长度为N=16的数组：

为了计算方便，凑了一下，使 x0 数组的平均值为5。通常，“傅里叶变换”前，需要去直流成分，即把数组减去平均值。去直流成分后的数组变成：

对数组x进行“傅里叶变换”。

对复数取模，即复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值，构成数组y0公式如下：

随后，需要进行归一化处理：

相对应的“时域波形”和“幅值谱”请参考下图。

“傅里叶变换”是一种数学方法，保证“时域波形”和“频谱”可以相互转换。在转换前和转换后，物理特性是不能改变的。这其中，最重要的一条就是“能量”应该相等。更具体地讲，就是“有效均方根”相等。

从“时域波形”计算“有效均方根”的步骤：首先去除“时域波形”的直流成分，具体就是减去平均值；所获得的波形，每个值平方后相加，再取平均；最后，开方。用统计学的称呼，就是“均方差”或“标准差”。

计算“频谱”的能量的步骤：首先需要对所有复数取模；然后归一化，即所以复数的模除以序列长度N；归一化后的模，每个值平方后相加；最后，开方。

可以在表格中看到：

3、单边谱

“时域波形”经过“傅里叶变换”后，得到同样长度的一个复数序列。序列长度为N=16，除去第0点（直流分量）和第N/2=8点外，其余复数左右两两共轭。这是标准的“双边谱”。

振动分析类的工程实践中，我们使用N/2的数据就够了，称之为“单边谱”。许多文章里提到只要在数组上乘以“2”就可以了。我在这里详细解释一下这个“2”的物理含义。

从能量等效叠加的角度讲，两个相等的值合成在一起，等效能量值应该是：

如果定义“单边谱”的幅值，以“峰值”的形式体现，那么，需要再参照正弦波的“峰值”与“有效均方根值”的关系，再乘以根号2。所以，总体上，就是乘以2了。

具体到实例，表格中，Y数组的第1项到第7项，转成“单边谱”的时候，需要乘以2。而第8项，没有共轭对象，只需转成“峰值”，乘以根号2。

“单边谱”计算“有效均方根”时候，其公式就需要注意，将各个“峰值”转回到“有效均方根”。

04、直流分量

在第2节，我们进行“傅里叶变换”前，去除了信号中的直流分量。那么，如果不去除直流分量，会如何呢？

从表格中，可以看出，除了第0项受到影响外，后面的各项都没有受到影响。从能量角度而言，总能量是直流能量和交流能量的和。以“单边谱”的数据为例，直流的能量是5的平方25；如果从总能量33里减去25 的话，结果就是8，这也就是前面表格的结果。

“单边谱”请参考下图。

纯直流分量，并不会影响结果。那前面去除直流分量，有何意义呢？从计算角度，直流分量的存在，有可能会导致后期的计算中，出现第0项上的极大值。这样一个孤值，会极大影响整个算法的效率。直流分量，可以轻易用平均值去除，就不会给后续计算带去麻烦了。

而真正会导致误差的，应该是信号数据中存在的一次项、二次项等趋势项。“傅里叶变换”前，重要的步骤是消除趋势项。如果不消除这些趋势项的话，在低频区域的结果会受到影响。