矢量和张量学生导引作者告诉您：怎么通俗地理解张量

2018-2-25 16:09| 发布者: weixin| 查看: 751| 评论: 1|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? )

　　Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? )于是乎就做了这个视频，用12分钟来告诉你张量是什么。

　　视频地址：https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

　　强烈推荐该视频，讲的非常赞，思路清晰、通俗易懂。如果无法看该视频的话，请看下面的内容摘要。

　　本文内容摘要由知乎网White Pillow翻译整理。

　　两点说明：
　　1. 本人非数学物理专业出身……这方面也没深入研究过，所以一些翻译用词可能不当，欢迎批评指正~

　　2. 可能前半部分有点啰嗦，主要是觉得视频太有爱了，不忍心删掉就都放上来了。

　　Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? )
　　于是乎就做了这个视频，用12分钟来告诉你张量是什么。

　　想要了解张量(Tensor)，首先需要对向量(Vector)有一个清晰的了解。

　　在我们的课本中，向量通常都是这样一个箭头……用来表示一个既有幅度(magnitude)又有方向(direction)的物理量，比如重力、磁力或者一个粒子的速度。这个箭头的长度表示幅度，箭头的指向表示方向。

　　此外，向量还可以用来表示一个平面，表示方法就是让向量代表垂直于这个平面的方向(法线方向)。

　　这么看来，向量可以表示很多东西：表示力、速度甚至平面，不过仔细想想向量也只表示了幅度(magnitude)与方向(direction)两个要素而已。

　　还有很多物理量用向量是没法表示的(后面会提到)，向量其实是一个更广泛的表示方法的特例。对的，你猜对了，这个更广泛的方法就是张量(Tensor)。

　　为了更好的解释张量是什么，有两个概念需要先搞清楚：分量 (Components) 与基向量 (Basis Vectors)。

　　为了搞清楚这个两个概念，我们要引入坐标系……

　　这里我们引入的是最常见的笛卡尔坐标系(Cartesian coordinate system)

　　说道坐标系，就一定要想到坐标系的基向量(coordinate basis vector)也称作unit vector，我们用这个小箭头来表示基向量。

　　基向量的长度是”1”，是你用来描述长度的基础单位。

　　基向量的方向是你的坐标系的坐标的方向。

　　在这个坐标系中，在x,y,z轴方向分别有三个基向量。

　　现在我们有了坐标系(coordinate system)与基向量(basis vector)，接下来可以确定分量(components)了。

　　在这个例子中，那个大箭头向量由4个x基向量，3个y基向量与0个z基向量构成。

　　所以我们可以用4个x，3个y，0个z来表示那个大箭头向量。

　　大箭头可以拿走了，现在只需要3个数字(方块，注意方块上写着数字)与3个基向量(小箭头)，我们就可以完全还原出大箭头的信息了。

　　如果大家默认使用同一套基向量，那么基向量(小箭头)都不需要了，我们只需要4，3，0这三个数字(方块)就可以表示那个向量。

　　这三个数字(方块)就是向量的分量(components)。

　　此时，想要表示一个向量，只要给定这三个分量即可，它们怎么排列都可以，你也可以把他们立起来。

如果加上两个括号，这就是我们在书上经常看到的向量的列表示……(笑cry了有木有)

　　总结一下，刚才那个桌子上的大箭头可以用这3个分量(components)与3个基向量(basis vector)表示。

　　(插一句：请原谅到此为止都讲的内容都是高中知识……因为很有爱啊~下面即将进入正题)

　　推广一下，对于一个向量A来说，我们用Ax, Ay, Az来表示这三个分量，分别对应向量A在x，y，z基向量方向上的分量。

　　注意每个分量只有一个下标，因为每个分量只由一个基向量构成(one basis vector per component)，所以向量也称为1阶张量(Tensors of rank 1)。

　　相应的，标量(scalar)也称为0阶张量(Tensors of rank 0)，因为标量没有方向，因此也就不存在基向量，可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。
　　下面来看更高阶的张量。

　　这是一个在3维空间中的2阶张量。

　　回顾一下，向量有3个基向量与3个分量。

　　而现在这里有9个基向量(那些小箭头)与9个分量(那些方块)。

　　注意现在每个分量有两个下标(例：Axy)，而不是之前的一个了。

　　为什么要用两个下标呢?考虑这个例子：固体物体中某点的受力情况。

　　想象在该物体里有一个平面，这个平面的朝向需要用一个向量来表示，为了表示该向量需要引入1组(3个)基向量;

　　在每个平面上又有一个力，这个力则需要用第二个向量来表示，这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组(3个)基向量与之组合。

　　于是就有了桌子上的那3*3个基向量组合。

　　如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合，需要9个分量，每个分量有2个下标(index)来表示该分量由哪两个基向量组合构成。

　　例：Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。

　　这9个分量与9个基向量共同组成了2阶张量。

　　继续进一步，这是一个3维空间中的3阶张量。

　　这个张量有27个基向量与27个分量。

　　现在每个分量有3个下标，所有的下标组合共有3*3*3=27个，故共有27组基向量(见桌子上那3堆箭头方阵)，不同基向量对应一个分量(那堆方块)。

　　现在可以做一个总结了，什么是张量以及为什么张量这么有用呢?

　　张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量(Combination of basis vector and component)。

　　由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。

　　此外，张量所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的，当参考系变化时(其实就是基向量变化)，其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合(也就是张量)保持不变。

　　考虑到张量有如此强大的表示能力，又不随观察者不同而变化，能够有效的表示宇宙间的万物，Lillian R. Lieber给了张量一个形象的称呼the fact of the universe。

　　本文来源于知乎网，已获译者上海交通大学White Pillow授权发布。

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